1.

\(\int\limits^3_2\dfrac{x+1}{x^2+x-2}dx=\int\limits^3_2\dfrac{x+1}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}dx=\int\limits^3_2\left(\dfrac{1}{3\left(x+2\right)}+\dfrac{2}{3\left(x-1\right)}\right)dx\)

\(=\left(\dfrac{1}{3}ln\left|x+2\right|+\dfrac{2}{3}ln\left|x-1\right|\right)|^3_2=\dfrac{1}{3}ln5\)

\(\Rightarrow a=0;b=0;c=\dfrac{1}{3}\)

2.

Đặt hệ trục Oxyz vào chóp với \(A\left(0,0,0\right);B\left(2,0,0\right);D\left(0,3,0\right),C\left(2,3,0\right),S\left(0,0,3\right)\)

Quy ước a là 1 đơn vị độ dài

\(\Rightarrow\overrightarrow{SC}=\left(2,3,-3\right);\overrightarrow{SD}=\left(0,3,-3\right);\overrightarrow{SB}=\left(2,0,-3\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{n_{\left(SCD\right)}}=\left[\overrightarrow{SC},\overrightarrow{SD}\right]=6.\left(0,1,1\right)\)

\(\overrightarrow{n_{\left(SCB\right)}}=\left[\overrightarrow{SC},\overrightarrow{SB}\right]=-3.\left(3,0,2\right)\)

\(cos\alpha=\dfrac{\left|0.3+1.0+1.2\right|}{\sqrt{1^2+1^2}.\sqrt{3^2+2^2}}=\dfrac{\sqrt{26}}{13}\)

\(\Rightarrow\alpha\approx67^0\)

Tỉ lệ thể tích mới so với thể tích cũ là:

\(\left(100\%+10\%\right)\times\left(100\%+10\%\right)\times\left(100\%-20\%\right)=0,968\)

Vậy thể tích mới bằng `0,968` lần thể tích cũ

c.

Do AE song song BC (gt) \(\Rightarrow\widehat{CAE}=\widehat{ACD}\) (so le trong) (2)

Cũng do AE song song BC \(\Rightarrow\widehat{CEA}=\widehat{KCD}\) (đồng vị) (3)

Lại có \(\widehat{ABD}=\widehat{ACD}\) (do tam giác ABC cân tại A) (4)

Từ (1),(2),(3),(4) \(\Rightarrow\widehat{CAE}=\widehat{CEA}\)

\(\Rightarrow\Delta CAE\) cân tại C

\(\Rightarrow\widehat{ACE}=180^0-2.\widehat{CAE}\) (5)

Do tam giác ABC cân tại A nên: \(\widehat{BAC}=180^0-2.\widehat{ACD}\) (6)

Từ (2), (5), (6) \(\Rightarrow\widehat{ACE}=\widehat{BAC}\)

Xét hai tam giác ACE và BAC có:

\(\widehat{CAE}=\widehat{ACB}\) (so le trong)

`AC` là cạnh chung

\(\widehat{ACE}=\widehat{BAC}\) (cmt)

\(\Rightarrow\Delta ACE=\Delta BAC\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow AE=BC\) (7)

Áp dụng BĐT tam giác trong tam giác AKE:

\(AK+AE>KE\) (8)

Từ (7),(8) \(\Rightarrow AK+BC>KE\)

a.

Do \(\Delta ABC\) cân tại A nên  `AB=AC` và \(\widehat{B}=\widehat{C}\)

Do \(AD\perp BC\) nên \(\widehat{ADB}=\widehat{ADC}=90^0\)

\(\Rightarrow\) Các tam giác ABD và ACD là các tam giác vuông

Xét hai tam giác vuông ABD và tam giác ACD có:

`AB=AC` (cmt)

\(\widehat{B}=\widehat{C}\) (cmt)

\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta ACD\left(ch-gn\right)\)

b.

Từ câu a, do \(\Delta ABD=\Delta ACD\Rightarrow BD=CD\)

Xét hai tam giác ABD và KCD có:

`DA=DK` (gt)

\(\widehat{ADB}=\widehat{KDC}\) (đối đỉnh)

`BD=CD` (cmt)

\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta KCD\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{KCD}\) (1)

\(\Rightarrow KC||AB\) (hai góc so le trong bằng nhau)

\(125,8:0,5+125,8:0,25+4\times125,8\)

\(=125,8\times2+125,8\times4+4\times125,8\)

\(=125,8\times\left(2+4+4\right)\)

\(=125,8\times10\)

\(=1258\)

\(x_1^3-x_2^3=7\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^3+3x_1x_2\left(x_1-x_2\right)=7\)

Do \(x_1-x_2=1\)

\(\Rightarrow1^3+3x_1x_2.1=7\)

\(\Rightarrow x_1x_2=2\)

\(\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2=\left(x_1-x_2\right)^2+4x_1x_2=1^2+4.2=9\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1+x_2=3\\x_1+x_2=-3\end{matrix}\right.\)

Theo hệ thức Viet: 

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=3\\x_1x_2=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-3\\b=2\end{matrix}\right.\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-3\\x_1x_2=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=2\end{matrix}\right.\)

a.

\(P=\left(\dfrac{x+2\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\left(1-\dfrac{\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x}+1}\right)\)

\(=\left(\dfrac{x+2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}-\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\right):\left(\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x}+1}\right)\)

\(=\left(\dfrac{\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\right):\left(\dfrac{x-1}{x+\sqrt{x}+1}\right)\)

\(=\dfrac{1}{x+\sqrt{x}+1}:\dfrac{x-1}{x+\sqrt{x}+1}\)

\(=\dfrac{1}{x-1}\)

b.

Đặt \(Q=x^2.P=x^2.\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x^2}{x-1}=\dfrac{x^2-1+1}{x-1}=\dfrac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)+1}{x-1}=x+1+\dfrac{1}{x-1}\)

Để Q nguyên \(\Rightarrow\dfrac{1}{x-1}\in Z\)

\(\Rightarrow x-1\inƯ\left(1\right)=\left\{-1;1\right\}\)

\(\Rightarrow x\in\left\{0;2\right\}\)

Em kiểm tra lại đề, dãy này ko đúng quy luật, 2 số đầu thì mẫu số liên tục cách nhau 1 đơn vị (1 và 2, 3 và 4), đến số cuối thì lại cách nhau 2 đơn vị (2014 và 2016)

\(\overline{2023ab}\) chia 5 dư 3 nên có tận cùng bằng 3 hoặc 8

Suy ra `b=3` hoặc `b=8`

- Với `b=3`

Do số đã cho chia hết cho 9 nên:

`2+0+2+3+a+3` chia hết cho 9

`10+a` chia hết cho 9 

Mà \(0\le a\le9\) nên \(10\le10+a\le19\)

Suy ra \(10+a=18\)

\(a=8\)

- Với `b=8`, tương tự ta có:

`2+0+2+3+a+8` chia hết cho 9 

`15+a` chia hết cho 9

Do \(0\le15+a\le24\)

Nên `15+a=18`

`a=3`

Vậy \(\left(a;b\right)=\left(8;3\right);\left(3;8\right)\)