Câu 4:

a.

Do \(AH\perp BC\) (AH là đường cao) nên \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^0\)

Xét hai tam giác vuông ABH và ACH có:

\(AB=AC\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

\(\widehat{ABH}=\widehat{ACH}\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

\(\Rightarrow\Delta_{\perp}ABH=\Delta_{\perp}ACH\left(ch-gn\right)\)

b.

Xét hai tam giác ANG và CNK có:

`NA=NC` (do N là trung điểm AC)

\(\widehat{ANG}=\widehat{CNK}\) (đối đỉnh)

`NG=NK` (gt)

\(\Rightarrow\Delta ANG=\Delta CNK\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{NAG}=\widehat{NCK}\)

\(\Rightarrow AG||CK\)

Mà \(AG\perp BC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow CK\perp BC\)

Câu 3:

a.

\(A\left(x\right)=-5x\left(2x^3-3x^2+x-4\right)\)

\(=-5x.2x^3-5x.\left(-3x^2\right)-5x.x-5x.\left(-4\right)\)

\(=-10x^4+15x^3-5x^2+20x\)

b.

\(B\left(x\right)=\left(6x^3+4x^2-6x\right):\left(2x\right)+\left(2x-1\right)\left(x^2+5\right)\)

\(=6x^3:\left(2x\right)+4x^2:\left(2x\right)-6x:\left(2x\right)+2x.x^2+2x.5-x^2-5\)

\(=3x^2+2x-3+3x^3+10x-x^2-5\)

\(=3x^3+2x^2+12x-8\)

Câu 2:

a.

\(A\left(x\right)=0\)

\(\dfrac{-2}{3}x+3=0\)

\(\dfrac{-2}{3}x=-3\)

\(x=\left(-3\right):\left(\dfrac{-2}{3}\right)\)

\(x=\dfrac{9}{2}\)

b.

\(B\left(x\right)=0\)

\(\left(x^2+3\right)\left(4x^2-25\right)=0\)

`x^2+3=0` hoặc `4x^2-25=0`

`x^2=-3` (ko có x thỏa mãn) hoặc `4x^2=25`

\(x^2=\dfrac{25}{4}\)

\(x=\pm\sqrt{\dfrac{25}{4}}\)

\(x=\pm\dfrac{5}{2}\)

c.

\(C\left(x\right)=0\)

`27x^5+x^2=0`

`x^2.(27x^3+1)=0`

`x^2=0` hoặc `27x^3+1=0`

`x=0` hoặc \(x^3=-\dfrac{1}{27}\)

`x=0` hoặc \(x=-\dfrac{1}{3}\)

Câu 1:

a.

Hệ số cao nhất của đa thức `P(x)` là 3

`P(1)=3.1^5+5.1^3-1-9=-2`

b.

\(K\left(x\right)=7x^5+x-3x^2-8x^3-4x^5+3x^2+5+5x^3\)

\(=\left(7x^5-4x^5\right)+\left(5x^3-8x^3\right)+\left(3x^2-3x^2\right)+x+5\)

\(=3x^5-3x^3+x+5\)

Do đó:

\(P\left(x\right)+K\left(x\right)=3x^5+5x^3-x-9+3x^5-3x^3+x+5\)

\(=\left(3x^5+3x^5\right)+\left(5x^3-3x^3\right)+\left(x-x\right)+\left(5-9\right)\)

\(=6x^5+2x^3-4\)

c.

\(K\left(x\right)=H\left(x\right)+P\left(x\right)\)

\(\Rightarrow H\left(x\right)=K\left(x\right)-P\left(x\right)\)

\(\Rightarrow H\left(x\right)=\left(3x^5-3x^3+x+5\right)-\left(3x^5+5x^3-x-9\right)\)

\(=\left(3x^5-3x^5\right)-\left(3x^3+5x^3\right)+\left(x+x\right)+\left(5+9\right)\)

\(=-8x^3+2x+14\)

Để tính nhanh đoạn KD, ta có thể làm như sau:

Nhận thấy tất cả dữ liệu cần tính toán (O, A, B, D, K) đều nằm trên Oxy

Nên chuyển hết các điểm về Oxy, khi đó \(O\left(0,0\right),A\left(5,0\right),B\left(3,4\right)\)

Thấy ngay \(OA=OB=5\) nên D là trung điểm AB \(\Rightarrow D\left(4;2\right)\)

OA nằm trên trục Ox nên đường vuông góc từ B hạ xuống OA có pt \(x=3\) (hoành độ của B), hay \(x-3=0\)

Phương trình OD: \(x-2y=0\)

Tọa độ K: \(\left\{{}\begin{matrix}x-3=0\\x-2y=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow K\left(3,\dfrac{3}{2}\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{KD}=\left(1,\dfrac{1}{2}\right)\Rightarrow R=\dfrac{1}{2}\sqrt{1^2+\dfrac{1}{4}}=\dfrac{\sqrt{5}}{4}\)

Giả sử đa thức đã cho có nghiệm nguyên x lẻ

\(\Rightarrow x^4-3x^3+\left(a+2\right)x^2-x+a=0\)

\(\Rightarrow x^4-3x^3+a.\left(x^2+1\right)+2x^2-x=0\)

\(\Rightarrow x^4-x+2x^2+a.\left(x^2+1\right)=3x^3\)

\(\Rightarrow x\left(x^3-1\right)+2x^2+a\left(x^2+1\right)=3x^3\)

\(\Rightarrow x\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)+2x^2+a.\left(x^2+1\right)=3x^3\)

Do \(x.\left(x-1\right)\) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên luôn chẵn

Đồng thời 2 là số chẵn nên \(2x^2\) luôn chẵn

Do x lẻ nên \(x^2\) lẻ \(\Rightarrow x^2+1\) chẵn \(\Rightarrow a.\left(x^2+1\right)\) luôn chẵn

Suy ra vế trái là tổng của 3 số chẵn

Do đó vế trái là 1 số chẵn

Suy ra vế phải cũng là số chẵn

Hay \(3x^3\) chẵn

Mà 3 lẻ nên \(x^3\) chẵn

Suy ra x chẵn (trái với giả thiết x là số nguyên lẻ)

Vậy điều giả sử là sai, hay đa thức đã cho ko có nghiệm nguyên lẻ với mọi a nguyên

Đặt hệ trục Oxyz, với \(A\left(0,0,0\right)\) , \(B\left(15,0,0\right)\), \(D\left(0,24,0\right)\), \(A'\left(0,0,18\right)\)

M là trung điểm CD' nên có tọa độ \(M\left(\dfrac{15}{2},24,9\right)\)

Hiển nhiên đoạn ngắn nhất khi pin tiểu là hình chiếu của M lên AB

Suy ra pn tiểu tại N là trung điểm AB

\(\Rightarrow N\left(\dfrac{15}{2},0,0\right)\)

\(\Rightarrow MN=\sqrt[]{24^2+9^2}=3\sqrt{73}\)

\(\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\)

\(\dfrac{12}{8}=\dfrac{3}{2}\)

Tỉ số phần trăm học sinh thích môn Anh so với sĩ số lớp là:

\(\left(\dfrac{10.100}{40}\right)\%=25\%\)

Tỉ số phần trăm học sinh thích môn Toán so với sĩ số lớp là:

\(\left(\dfrac{16.100}{40}\right)\%=40\%\)

Tỉ số phần trăm học sinh thích môn Sử so với sĩ số lớp là:

\(\left(\dfrac{14.100}{40}\right)\%=35\%\)

Xét tổng:

\(A=1+4+7+10+...+52+55\)

Số số hạng là: \(\left(55-1\right):3+1=19\) số hạng

Tổng A là:

\(A=\left(1+55\right)\times19:2=532\)

Do đó:

\(1+4+7+...+52+55=532-520=12\)