Xét hai tam giác AMB và tam giác AMC có:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(gt\right)\\MB=MC\left(gt\right)\\AM\text{ là cạnh chung}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AMB=\Delta AMC\left(c.c.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{MAB}=\widehat{MAC}\) hay \(\widehat{IAB}=\widehat{IAC}\)

Xét hai tam giác ABI và ACI có:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(gt\right)\\\widehat{IAB}=\widehat{IAC}\left(cmt\right)\\AI\text{ là cạnh chung}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta ABI=\Delta ACI\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow IB=IC\)

\(\Rightarrow I\) là trung điểm cạnh BC

a.

Do A là trung điểm MN, B là trung điểm MQ nên AB là đường trung bình tam giác MNQ

\(\Rightarrow AB||NQ\)

Mà C thuộc NQ \(\Rightarrow AB||CQ\)

\(\Rightarrow ABQC\) là hình thang

b.

Do \(AB||NQ\) (theo cmt), mà C thuộc NQ \(\Rightarrow AB||CN\) (1)

Do C là trung điểm NQ \(\Rightarrow CN=\dfrac{1}{2}NQ\) (2)

Do AB là đường trung bình tam giác MNQ \(\Rightarrow AB=\dfrac{1}{2}NQ\) (3)

(2);(3) \(\Rightarrow AN=CN\) (4)

(1);(4) \(\Rightarrow ABCN\) là hình bình hành

Số quả táo trong rổ lúc đầu là:

`27+13=40` (quả)

Số quả cam trong rổ lúc đầu là:

`78-40=38` (quả)

a.

Để (d) đi qua A tọa độ A thỏa mãn pt (d), do đó:

\(2m.1+2m-3=5\)

\(\Leftrightarrow4m=8\Rightarrow m=2\)

b.

Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (P):

\(x^2=2mx+2m-3\)

\(\Leftrightarrow x^2-2mx-2m+3=0\) (1)

(d) tiếp xúc (P) khi và chỉ khi (1) có nghiệm kép

\(\Leftrightarrow\Delta'=1-\left(-2m+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2m-2=0\)

\(\Leftrightarrow m=1\)

\(A=-14\) và \(B=-36\)

Số con gà trên sân là:

`38-9=27` (con)

Số vịt kém số gà số con là:

`27-9=18` (con)

\(xy+xz+2xy+2xz=x\left(y+z\right)+2x\left(y+z\right)\)

\(=\left(y+z\right)\left(x+2x\right)=3x\left(y+z\right)\)

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(x^2=-x+m+2\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-m-2=0\) (1)

(d) và (P) có điểm chung duy nhất khi và chỉ khi (1) có nghiệm kép

\(\Rightarrow\Delta=1+4\left(m+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow4m+9=0\)

\(\Rightarrow m=-\dfrac{9}{4}\)

\(=\left(x+y\right)\left(x+4y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)+y^4\)

\(=\left(x^2+5xy+4y^2\right)\left(x^2+5xy+6y^2\right)+y^4\)

\(=\left(x^2+5xy+5y^2-y^2\right)\left(x^2+5xy+5y^2+y^2\right)+y^4\)

\(=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2-\left(y^2\right)^2+y^4\)

\(=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2\) là số chính phương