Do số bi hộp 1 nhiều hơn hộp 2, dẫn tới \(x>7\)

\(x>15-x\Rightarrow x>\dfrac{15}{2}\Rightarrow x>7\) do x nguyên

7.

Gọi số cần lập có dạng \(\overline{abc}\)

a có 4 cách chọn (khác 0)

b có 4 cách chọn (khác a)

c có 3 cách chọn (khác a và b)

Tổng cộng có: \(4.4.3=48\) số

6.

Gọi số đó có dạng \(\overline{abcd}\)

a có 9 cách chọn (khác 0)

b có 9 cách chọn (khác a)

c có 8 cách chọn (khác a và b)

d có 7 cách chọn (khác a,b,c)

Tổng cộng có: \(9.9.8.7=4536\) số

Hoặc 1 cách biện luận khác:

Lập số có 4 chữ số khác nhau bất kì (từ 10 chữ số từ 0 đến 9): có \(A_{10}^4\) cách

Những số này bao gồm cả những số có số 0 đứng đầu, cần loại chúng đi, có \(A_9^3\) số như vậy

Tổng cộng có: \(A_{10}^4-A_9^3=4536\) số

4.

Chọn 2 bạn nữ từ 3 bạn và xếp vào 2 ghế 1,2: \(A_3^2=6\) cách

Xếp bạn nữ còn lại vào 4 ghế còn lại: 4 cách

Xếp 3 bạn nam vào 3 ghế còn thừa: \(3!\) cách

Tổng cộng có: \(6.4.3!=144\) cách

5.

Chọn 3 nam từ 10 nam: có \(C_{10}^3\) cách

Chọn 3 nữ từ 6 nữ: có \(C_6^3\) cách

Ghép cặp 3 nam với 3 nữ: \(3!\) cách (đơn giản là hãy tưởng tượng cho 3 nữ xếp hàng ngang đứng yên, sau đó hoán vị 3 nam đứng đối diện 3 nữ, khi đó thấy ngay có 3! cách xếp cặp).

\(\Rightarrow C_{10}^3.C_6^3.3!=14400\) cách

1.

Có 2 phương pháp đi từ A đến D: theo thứ tự ABD hoặc ACD

Số con đường là: \(3.2+2.3=12\)

2.

Số cách chọn 3 người từ 8 người (có quan tâm thứ tự) là: \(A_8^3=336\)

3.

Kí hiệu N là nam, n là nữ

Có 2 kiểu xếp thỏa mãn:

Kiểu 1: NnNnNnNnNn

Số cách xếp 5 nam vào 5 vị trí N là: \(5!\) cách

Số cách xếp 5 nữ vào 5 vị trí n là: \(5!\) cách

\(\Rightarrow5!.5!=\left(5!\right)^2\) cách

Kiểu 2: nNnNnNnNnN

Tương tự như trên, có \(\left(5!\right)^2\) cách

Vậy tổng cộng có: \(\left(5!\right)^2+\left(5!\right)^2=28800\) cách

\(\Delta'=m^2-\left(2m-3\right)=\left(m-1\right)^2+2>0;\forall m\) nên pt luôn có 2 nghiệm pb với mọi m

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=2m-3\end{matrix}\right.\)

\(A=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(=\left(2m\right)^2-2.\left(2m-3\right)\)

\(=4m^2-4m+12\)

\(A=\left(2m-1\right)^2+11\ge11\)

\(A_{min}=11\) khi \(2m-1=0\Rightarrow m=\dfrac{1}{2}\)

Bài này chắc ko ai cho trong đề thực tế. Vì đơn giản nó chỉ là check các trường hợp có thể xảy ra.

Hộp 1 có x viên bi (x>7) và hộp 2 có 15-x viên

Giả sử hộp 1 có a viên đen \(\left(0< a\le x\right)\) và hộp 2 có b viên đen

Khi đó: \(\dfrac{a.b}{x.\left(15-x\right)}=\dfrac{5}{28}\)

Dẫn tới x hoặc 15-x phải là bội số của 7. Vậy chỉ có \(x=14\) hoặc \(x=8\). Thử lại 2 cái là ra.

TH1: \(a+b+c=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=-c\\b+c=-a\\c+a=-b\end{matrix}\right.\)

\(P=\left(\dfrac{a+b}{a}\right).\left(\dfrac{b+c}{b}\right).\left(\dfrac{c+a}{c}\right)=\left(\dfrac{-c}{a}\right).\left(\dfrac{-a}{b}\right).\left(\dfrac{-b}{c}\right)=\dfrac{-abc}{abc}=-1\)

TH2: \(a+b+c\ne0\)

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau:

\(\dfrac{a+b-c}{c}=\dfrac{b+c-a}{a}=\dfrac{c+a-b}{b}=\dfrac{a+b-c+b+c-a+c+a-b}{c+a+b}=1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a+b-c}{c}=1\\\dfrac{b+c-a}{a}=1\\\dfrac{c+a-b}{b}=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b-c=c\\b+c-a=a\\c+a-b=b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=3c\\a+b+c=3a\\a+b+c=3b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow3a=3b=3c\Rightarrow a=b=c\)

\(\Rightarrow P=\left(1+\dfrac{a}{a}\right).\left(1+\dfrac{a}{a}\right).\left(1+\dfrac{a}{a}\right)=2.2.2=8\)

Vậy \(P=-1\) hoặc \(P=8\)