Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên cạnh BC lấy điểm E; đường thẳng qua B vuông góc với đường thẳng DE cắt DE tại H và cắt DC tại K. Gọi M là giao điểm của DB và AH.
1. Chứng minh ba điểm M, E, K thẳng hàng.
2. Chứng minh E là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác CHM.
3. Khi E di chuyển trên cạnh BC thì điểm H di chuyển trên đường nào ?
Khi \(\widehat{MCH}=30^o\), tính độ dài của đoạn HK theo a.
Cho AB là đường kính của đường tròn (O;R). C là một điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O;R) tại M, MB cắt CH tại K.
a) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O;R).
b) Chứng minh K là trung điểm của CH.
c) Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó theo R.
Cho đoạn thẳng OA = R, vẽ đường tròn (O;R). Trên đường tròn (O;R) lấy H bấy kỳ sao cho AH<R, qua H vẽ đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O;R). Trên đường thẳng a lấy B và C sao cho H nằm giữa B và C và AB = AC = R. Vẽ HM vuông góc với OB( M ∈ OB), vẽ HN vuông góc với OC ( N ∈ OC).
a) Chứng minh OM. OB = ON. OC và MN luôn đi qua 1 điểm cố định
b) Chứng minh \(OB.OC=2R^2\)
c) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN khi H thay đổi.
Cho đường tròn ( O; R) và dây cung AB = \(R\sqrt{3}\) cố định. Điểm P di động trên dây AB, P khác A và B. Gọi ( C; R1) là đường tròn đi qua P tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại A. Gọi (D; R2) là đường tròn tâm D đi qua P tiếp xúc với đường tròn( O; R) tại B. Các đường tròn (C; R1) và (D; R2) còn cắt nhau tại một điểm thứ hai M khác P.
a) Chứng minh R = R1 +R2.
b) Chứng minh tứ giác MCDO nội tiếp
c) Khi M di động, chứng minh đường thẳng MP luôn luôn đi qua một điểm cố định ( điểm N). Tìm vị trí của P để tích PM.PN đạt giá trị lớn nhất.
Cho đường tròn (O) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn (C không trùng với A, B và trung điểm cung AB). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB. Đường tròn (O1) đường kính AH cắt CA tại E, đường tròn (O2) đường kính BH cắt CB tại F.
a. Chứng minh tứ giác AEFB là tứ giác nội tiếp.
b. Gọi (O3) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB, D là điểm đối xứng của C qua O. Chứng minh ba điểm H, O3, D thẳng hàng.
c. Gọi S là giao của các đường thẳng EF và AB, K là giao điểm thứ hai của SC với đường tròn (O). Chứng minh KE vuông góc với KF
Cho nửa đường tròn (O;R), BC là đường kính. Điểm A di động trên nửa đường tròn (A khác B và C). Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Gọi I và K thứ tự là hình chiếu của H trên AB và AC.
a) Chứng minh 4 điểm B, I, K, C cùng thuộc một đường tròn.
b) Xác định vị trí điểm A trên nửa dường tròn để tích HA.HB có giá trị lớn nhất.
Cho điểm M thuộc đường tròn (O) đường kính AB (M khác A, M khác B) và MA < MB. Tia phân giác của goác AMB cắt AB tại C. Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt các đường thẳ ng AM và BM lần lượt tại D và H.
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng AH và BD cắt nhau tại điểm N nằm trên đường tròn (O)
b) Gọi E là hình chiếu của H trên tiếp tuyến tại A, F là hình chiếu của D trên tiếp tuyến tại B của đường tròn (O). Chứng minh 4 điểm E, M, N, F thẳng hàng
c) Gọi \(S_1\) và \(S_2\) lần lượt là diện tích của tứ giác ACHE và BCDF. Chứng minh rằng \(CM^2\) < \(\sqrt{S_1.S_2}\)