tìm các số nguyên tố (p,q) thỏa mãn \(p\left(p-1\right)=q\left(q^2-1\right)\)

chứng minh rằng không tồn tại 2018 điểm phân biệt cùng nằm trong 1 đường tròn bán kính 43 mà 2 điểm bất kì trong 2018 điểm đó có khoảng cách lớn hơn 2

cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn \(p=a^2+b^2\) là số nguyên tố và p - 5 chia hết cho 8. giả sử các số nguyên x, y thỏa mãn \(ax^2-by^2\) chia hết cho p. Cmr: x,y cùng chia hết cho p

giải hpt

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+3=4x\\x^3+y^3+12x=9+6x^2\end{matrix}\right.\)

tìm giá trị của m để phương trình \(\left(x^2-1\right)\left(x+3\right)\left(x+5\right)=m\) (m là tham số ) có 4 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2,x_3,x_4\) thỏa mãn \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=-1\)

tính \(\sqrt[3]{55+\sqrt{3024}}\)

cho a,b,c>0 thỏa mãn abc=8. Cmr:

\(\frac{1}{\sqrt{1+a^3}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^3}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^3}}\ge1\)

cho \(P=a_1+a_2+a_3+....+a_{2019}\) với \(a_1,a_2,a_3,.....,a_{2019}\) là các số nguyên dương và \(P⋮30\) . Cmr : \(a_1^5+a_2^5+a_3^5+....+a_{2019}^5⋮30\)

cho a là số nguyên dương và b là ước nguyên dương của \(2a^2\) . Cmr: \(a^2+b\) không là số chính phương

cho tam giác ABC có \(\widehat{A}=30^o\) , phân giác trong và ngoài tại đỉnh B cắt AC tại E và F, phân giác trong và ngoài tại đỉnh C cắt AB tại M và N. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN tại P trong tam giác ABC.

a) Cmr: \(OA.OC=OB^2\)

b) Cmr: \(BP\perp CP\)