Bài 11 Cho đường tròn O (O;R) đường kính AB. H là trung điểm của OB. Qua H vẽ dây CD vuông góc với AB.

a. Chứng minh tam giác OCB đều.

b. Tính độ dài AC, CH theo R

c. Tiếp tuyến tại C và D cắt nhau ở I. Chứng minh 3 điểm O, B, I thẳng hàng.

d. Đường vuông góc với AD kẻ từ H cắt CB ở E. OE cắt CI tại K. Chứng minh KB là tiếp tuyến của (O) và B là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ICD

Cho nữa đường tròn (O; R) có đường kính AB. tiếp tuyến tại điểm M trên nữa đường tròn lần lượt cắt hai tiếp tuyến tại A và B ở C và D.

1.Chứng minh : AC+ DB = CD.

2.Chứng minh : tam giác COD vuông và AC.BD = R².

3.OC cắt AM tại E và OD cắt BM tại F. chứng minh :

a)Tứ giác OEMF là hình chữ nhật.

b)OE.OC = OF.OD = R².

c)EF \(\perp\) BD.

d)Chứng minh : AB là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính CD.

e)AD cắt BC tại N. chứng minh : MM // AC.

Giải hệ phương trình:\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(x+2\right)\left(y+3\right)-\frac{1}{2}xy=50\\\frac{1}{2}xy-\frac{1}{2}\left(x-2\right)\left(y-2\right)=32\end{matrix}\right.\)

Giải hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{2y-5x}{3}+5=\frac{y+27}{4}-2x\\\frac{x+1}{3}-\frac{6y-5x}{7}+y=0\end{matrix}\right.\)

Cho a,b,c >0 và a+b+c=1. Chứng minh rằng \(abc\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\le\frac{8}{729}\)

CMR: \(\left(1+\frac{a+b+c}{3}\right)^3\ge\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\ge8\sqrt{abc}\) \(\forall a,b,c\ge0\)