Cho A = \(\left\{a;b\right\}\) , B = \(\left\{1;2;3\right\}\)

a) Có bao nhiêu ánh xạ f đi từ A sang B, tìm các ánh xạ đó ? Có ánh xạ nào là toàn ánh không ?

b) Trong các ánh xạ f \(B\rightarrow A\) có ánh xạ nào là đơn ánh không?

Tam giác ABC có AD,BE,CF đồng quy tại O. GỌi H là hình chiếu của O trên BC. DA cắt EF tại I. Qua I kẻ đường thẳng song song với DE cắt DF, BC tại M,N. Chứng minh M là trung điểm của IN

Cho a,b,c > 0 và \(a^2+b^2+c^2=1\)

Chứng minh rằng : \(4\le\sqrt{a^4+b^2+c^2+1}+\sqrt{a^2+b^4+c^2+1}+\sqrt{a^2+b^2+c^4+1}\le3\sqrt{2}\)

Cho tam giác ABC và hai điểm M,N nằm trên các cạnh AC,AB sao cho MN song song với BC. Điểm P di chuyển trên đoạn thẳng MN. Lấy các điểm E,F sao cho \(EP\perp AC,EC\perp BC,EP\perp AB,FB\perp BC\)

a) Chứng minh rằng đường thẳng EF đi qua một điểm cố định khi P di chuyển

b) Đường thẳng qua A vuông góc với EF cắt BC tại Q. CHứng minh BC đi qua trung điểm PQ

Giải phương trình nghiệm nguyên :

\(x^3-y^3-1=\left(x+y-1\right)^2\)

Tìm tất cả các cắp số nguyên tố (p;q) sao cho \(p^2+q^3\) là lập phương

Cho tập S = \(\left\{1;2;3;...2014\right\}\) được phân thành các cặp rời nhau \(\left\{a_i;b_1;1\le i\le1007\right\}\)sao cho \(\left|a_i-b_1\right|\) bằng 1 hoặc 6 . Hãy tìm chữ số tận cùng của T = \(\sum\limits^{1007}_{i=1}\left|a_i-b_i\right|\)

Cho tập hữu hạn X. Ta chọn ra 50 tập con \(A_1,A_2,...A_n\) mỗi tập đề chưa quá nửa số phần tử của X. Chứng minh rằng

a) Tồn tại phần tử a thuộc ít nhất 26 tập đã cho.

b) Tồn tại tập con A của X sao cho số phần tử của A không vượt quá 5 và \(A\cap A_1\ne\varnothing,\forall i=\overline{1,50}\)

Cho tam giác ABC, đường thẳng d song song với BC. M là điểm bất kỳ thuộc d. BM,CM cắt AC,AB tại P,Q. Chứng minh \(\dfrac{1}{BQ}+\dfrac{1}{CP}\) không đổi

Tam giác ABC có I, J là hai đường tròn nội tiếp và bàn tiếp cạnh BC. QUA I,J vẽ hai đường thẳng DE,FG song song với BC. Chứng minh :\(\dfrac{2}{BC}=\dfrac{1}{DE}+\dfrac{1}{FG}\)