\(\left(x^2+5x\right)^2-2x^2-10x=24\)

\(\Leftrightarrow\left[x\left(x+5\right)\right]^2-2x\left(x+5\right)-24=0\)

\(\Leftrightarrow\left[x\left(x+5\right)\right]^2-2x\left(x+5\right)+1-25=0\)

\(\Leftrightarrow\left[x\left(x+5\right)-1\right]^2-5^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+5x-6\right)\left(x^2+5x+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+6\right)\left(x+1\right)\left(x+4\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\Leftrightarrow x=1\\x+6=0\Leftrightarrow x=-6\\x+1=0\Leftrightarrow x=-1\\x+4=0\Leftrightarrow x=-4\end{matrix}\right.\)

1) \(\left(7a-3b+2c\right)\left(7a-3b-2c\right)\)

\(=\left(7a-3b\right)^2-4c^2\)

\(=49a^2-42ab+9b^2-4\left(10a^2-10b^2\right)\)

\(=49a^2-42ab+9b^2-40a^2+40b^2\)

\(=9b^2-42ab+49b^2\)

\(=\left(3a-7b\right)^2\left(đpcm\right)\)

2) \(\left(5a-3b+8c\right)\left(5a-3b-8c\right)\)

\(=\left(5a-3b\right)^2-64c^2\)

\(=25a^2-30ab+9b^2-16\left(a^2-b^2\right)\)

\(=9a^2-3ab+25b^2\)

\(=\left(3a-5b\right)^2\left(đpcm\right)\)

1.8208kg 2.0,882km NHO **** NHE

Xem lại biểu thức K

Từ giả thiết 1, ta suy ra:

\(ax^2=\dfrac{by^3}{x}=\dfrac{cz^3}{x}\)

\(by^2=\dfrac{cz^3}{y}=\dfrac{ax^3}{y}\)

\(cz^2=\dfrac{ax^3}{z}=\dfrac{by^3}{z}\)

\(\Rightarrow ax^2+by^2+cz^2=ax^3\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=ax^3\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=x\sqrt[3]{a}\)

\(\dfrac{1}{x}\left(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}\right)=\sqrt[3]{a}\)(1)

Tương tự:

\(\dfrac{1}{y}\left(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}\right)=\sqrt[3]{b}\)(2)

\(\dfrac{1}{z}\left(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}\right)=\sqrt[3]{c}\)(3)

Cộng các đẳng thức (1),(2),(3) vế theo vế, ta được điều phải chứng minh

Bài 1 có 1 đống cách, thôi xài Cauchy cho nhanh vậy, điều kiện x,y,z >0 nữa nha bạn

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}=\dfrac{9}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow VT\ge9\)

Dấu ''='' xảy ra khi x=y=z

Dean thật, gõ gần xong rồi tự nhiên nó tạch, phải gõ lại -.-

Từ gt, ta suy ra:

\(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right].\dfrac{1}{2}=0\)(Tự phân tích, không còn kiên nhẫn để gõ lại)

Mà a+b+c khác 0 => a=b=c

Thay vào thì C=8

\(x+y+z=4-\sqrt{xyz}\)

\(\Leftrightarrow x+y+z+\sqrt{xyz}=4\)

\(\Leftrightarrow4\left(x+y+z\right)+4\sqrt{xyz}=16\)

Ta có: \(x\left(4-y\right)\left(4-z\right)\)

\(=x\left[16-4\left(y+z\right)+yz\right]\)

\(=x\left[4\left(x+y+z\right)+4\sqrt{xyz}-4\left(y+z\right)+yz\right]\)

\(=x\left(4x+4\sqrt{xyz}+yz\right)\)

\(=x\left(2\sqrt{x}+\sqrt{yz}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{x\left(4-y\right)\left(4-z\right)}=\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}+\sqrt{yz}\right)\)

\(=2x+\sqrt{xyz}\)

Tương tự: \(\sqrt{y\left(4-z\right)\left(4-z\right)}=2y+\sqrt{xyz}\)

\(\sqrt{z\left(4-x\right)\left(4-y\right)}=2z+\sqrt{xyz}\)

Cộng vế theo vế các đẳng thức vừa chứng minh ta được:

\(P=2\left(x+y+z\right)+3\sqrt{xyz}=2\left(4-\sqrt{xyz}\right)+3\sqrt{xyz}=8+\sqrt{xyz}\)

2) Đặt vế trái đẳng thức cần chứng minh là P

Đặt \(A=\dfrac{a-b}{c}+\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}\), ta có:

\(A.\dfrac{c}{a-b}=1+\dfrac{c}{a-b}\left(\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}\right)=1+\dfrac{c}{a-b}.\dfrac{b^2-bc+ac-a^2}{ab}\)

\(=1+\dfrac{c}{a-b}.\dfrac{\left(a-b\right)\left(c-a-b\right)}{ab}=1+\dfrac{2c^2}{ab}=1+\dfrac{2c^3}{abc}\)

Tương tự: \(A.\dfrac{a}{b-c}=1+\dfrac{2a^3}{abc},A.\dfrac{b}{c-a}=1+\dfrac{2b^3}{abc}\)

Vậy \(P=3+\dfrac{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}{abc}=9\)

P/S: \(a+b+c=0\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)(Cái này tự chứng minh)

1) Từ \(\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b}=0\), suy ra

\(\dfrac{a}{b-c}=\dfrac{b}{a-c}+\dfrac{c}{b-a}=\dfrac{b^2-ab+ac-c^2}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}\)

Nhân cả 2 vế với \(\dfrac{1}{b-c}\Rightarrow\dfrac{a}{\left(b-c\right)^2}=\dfrac{b^2-ab+ac-c^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\left(1\right)\)

Tương tự: \(\dfrac{b}{\left(c-a\right)^2}=\dfrac{c^2-bc+ba-a^2}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\left(2\right)\)

\(\dfrac{c}{\left(a-b\right)^2}=\dfrac{a^2-ca+bc-b^2}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)}\left(3\right)\)

Cộng \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\) vế theo vế, ta được:

\(\dfrac{a}{\left(b-c\right)^2}+\dfrac{b}{\left(c-a\right)^2}+\dfrac{c}{\left(a-b\right)^2}=0\)