Chứng minh \(\left(3+\sqrt{5}\right)^{10}+\left(3-\sqrt{5}\right)^{10}\) là số nguyên chia hết cho 1024.

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Gọi D là trung điểm AC, E là trung điểm của HD. Chứng minh rằng \(BE=\sqrt{13}ED\).

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB và AC của đường tròn (O) và cát tuyến ADE (D nằm giữa A và E). Chứng minh rằng \(\frac{BD}{BE}=\frac{CD}{CE}\).

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). (O') là đường tròn tiếp xúc trong với (O) tại M và tiếp xúc với AB,AC tại I và K. Gọi Mx là tia phân giác góc BMC, Bx cắt IK tại F. Chứng minh hai tứ giác FKCM và FIBM nội tiếp.

Với x,y là những số thực thỏa mãn các điều kiện \(0< x\le y\le2;2x+y\ge2xy\), tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\(P=x^2\left(x^2+1\right)+y^2\left(y^2+1\right)\)

Tìm khoảng cách của hai đường thẳng:

(d): y = x+2

(d_m): y = x+6