Câu a. Đặt hình vuông ABCD có A(0;1), B(1;1), C(1;0), D(0;0), khi đó O(1/2;1/2), E(1/2;1), F(1/2;0).
Vì E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD nên EF là đường trung bình của hình vuông, đi qua tâm O.
Ta có E(1/2;1), F(1/2;0), trung điểm của EF là (1/2;1/2), đúng bằng O.
Vậy O là trung điểm EF.
Câu b. Gọi N(x;0) thuộc CF, với 1/2 ≤ x ≤ 1.
Đường thẳng AN có hệ số góc là -1/x.
Qua E kẻ đường thẳng song song AN cắt CD tại Q nên Q(x + 1/2;0).
Từ Q kẻ đường thẳng vuông góc CD, suy ra đường thẳng này có dạng X = x + 1/2.
Đường thẳng OP cắt đường thẳng đó tại G, tính được G(x + 1/2;x - 1/2).
Ta có ON² = (x - 1/2)² + (0 - 1/2)².
Ta có NG² = (1/2)² + (x - 1/2)².
Suy ra ON = NG.
Lại có ON vuông góc NG vì hai vectơ ON = (x - 1/2;-1/2), NG = (1/2;x - 1/2) có tích vô hướng bằng 0.
Vậy tam giác ONG vuông cân tại N.

Một số bài về dãy số theo quy luật:
Bài 1. Tìm số tiếp theo: 2, 4, 6, 8, 10, ...
Bài 2. Tìm số tiếp theo: 3, 6, 12, 24, 48, ...
Bài 3. Tìm số tiếp theo: 1, 4, 9, 16, 25, ...
Bài 4. Tìm số tiếp theo: 5, 10, 20, 40, 80, ...
Bài 5. Tìm số tiếp theo: 1, 2, 4, 7, 11, 16, ...
Bài 6. Tìm số tiếp theo: 100, 90, 80, 70, 60, ...
Bài 7. Tìm số tiếp theo: 1, 3, 6, 10, 15, ...
Bài 8. Tìm số tiếp theo: 2, 5, 10, 17, 26, ...
Bài 9. Tìm số tiếp theo: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...
Bài 10. Tìm số tiếp theo: 4, 7, 13, 25, 49, ...
Đáp án:
Bài 1. 12, vì dãy tăng thêm 2
Bài 2. 96, vì mỗi số gấp đôi số trước
Bài 3. 36, vì đây là các số chính phương
Bài 4. 160, vì mỗi số gấp đôi số trước
Bài 5. 22, vì lần lượt cộng 1, 2, 3, 4, 5, 6
Bài 6. 50, vì dãy giảm 10
Bài 7. 21, vì lần lượt cộng 2, 3, 4, 5, 6
Bài 8. 37, vì lần lượt cộng 3, 5, 7, 9, 11
Bài 9. 13, vì mỗi số bằng tổng hai số đứng trước
Bài 10. 97, vì mỗi số bằng số trước nhân 2 trừ 1

a) Vì AH vuông góc BC nên góc BHA = 90°, tam giác ABC vuông tại A nên góc BAC = 90°
Lại có góc ABC chung
Suy ra tam giác BAC đồng dạng tam giác BHA, Giải thích: Hai tam giác có hai góc tương ứng bằng nhau nên đồng dạng.
b) Từ tam giác BAC đồng dạng tam giác BHA, suy ra:
AC/BC = AH/AB
Mặt khác tam giác ABC đồng dạng tam giác AHC nên:
AC/BC = CH/AC
Suy ra:
AC² = BC.CH
Vậy BC.CH = AC², Giải thích: Đây là hệ thức lượng trong tam giác vuông.
c) Vì HE vuông góc AB, HF vuông góc AC và AB vuông góc AC nên AEHF là hình chữ nhật
Suy ra EF song song với AH
Mà AH vuông góc BC nên EF vuông góc BC
Tam giác AFE vuông tại A, tam giác ABC vuông tại A
Ta có góc AFE = góc ABC
Suy ra tam giác AFE đồng dạng tam giác ABC, Giải thích: Hai tam giác vuông có thêm một góc nhọn bằng nhau nên đồng dạng.
d) Ta có E thuộc AB, F thuộc AC
Vì HE vuông góc AB nên góc BEH = 90°
Vì HF vuông góc AC nên góc CFH = 90°
Suy ra B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn
M là giao điểm của EF và BC
Theo định lí hai cát tuyến cắt nhau, ta có:
MB.MC = ME.MF
Vậy MB.MC = ME.MF, Giải thích: Từ điểm M kẻ hai cát tuyến MBC và MEF của cùng một đường tròn nên tích hai đoạn thẳng tương ứng bằng nhau.

Câu 1. Trần Hạo là tên húy của vua Trần Anh Tông, Giải thích: Ông là con của Trần Nhân Tông và trị vì từ năm 1293 đến năm 1314.

Câu 2. Thiệu Bảo là niên hiệu của vua Trần Nhân Tông, Giải thích: Niên hiệu Thiệu Bảo được sử dụng trong giai đoạn 1279 đến 1285 dưới triều vua Trần Nhân Tông.