m²+n²+p²+q²+1\(\ge\)m(n+p+q+1)(*)

nhân cả hai vế cho 4 ta được

(*)<=>(m²-4mn+4n²)+(m²-4mp+4p²)+(m²-4mq+4q²)+(m²-4m+4)\(\ge0\)

<=>(m-2n)²+(m-2p)²+(m-2q)²+(m-1)²\(\ge0\)

luôn đúng=>điều phải chứng minh

a)\(\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+21}\)

=\(\sqrt{3\left(x+1\right)^2+4}+\sqrt{5\left(x+1\right)^2+16}\ge6\)(1)

mặt khác 5-2x-x²=6-(x+1)²\(\le6\)(2)

từ (1) và (2)=>dấu = xảy ra khi VP =6 =VTtức x=-1

b)\(\sqrt{3x^2+6x+12}\)+\(\sqrt{5x^4+10x^2+9}\)

=\(\sqrt{3\left(x+1\right)^2+9}+\sqrt{5\left(x^2+1\right)^2+4}>5\)(x²+1>0)(1')

mặt khác VP=5-2(x+1)²\(\le\)5(2')

từ (1') và (2')=> pt vô nghiệm

từ hpt ta suy ra được:\(\left\{{}\begin{matrix}x=m-1\\y=m\end{matrix}\right.\)

ta có:2(m-1)-3m<3<=>-m<5=>m>-5

Ta có: 
x+y+xy=3 
<=> (x+xy) + (y+1) = 4 
<=> x(y+1) + (y+1) = 4 
<=> (x+1)(y+1) = 4 

Vì x,y nguyên nên (x+1) và (y+1) nguyên 

Lại có 4=(-1).(-4)=(-2).(-2)=1.4=2.2 

Khi đó ta có: 
{x+1= -1 <=> {x= -2 
{y+1= -4........{y= -5 
hoặc 
{x+1= -4 <=> {x= -5 
{y+1= -1........{y= -2 
hoặc 
{x+1= -2 <=> {x= -3 
{y+1= -2........{y= -3 
hoặc 
{x+1= 4 <=> {x= 3 
{y+1= 1........{y= 0 
hoặc 
{x+1= 1 <=> {x= 0 
{y+1= 4........{y= 3 
hoặc 
{x+1= 2 <=> {x= 1 
{y+1= 2........{y= 1 

Vậy (x;y) bằng (-2;-5) ; (-5;-2) ; (-3;-3) ; (3;0) ; (0;3) ; (1;1)

theo Vi-ét ta có:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2m+3}{2}\\x_1.x_2=\dfrac{m+1}{4}\end{matrix}\right.\)

để \(\dfrac{x_1+x_2}{x_1.x_2}< 4\)

<=>\(\dfrac{\dfrac{2m+3}{2}}{\dfrac{m+1}{4}}< 4\)<=>\(\dfrac{2\left(2m+3\right)}{m+1}< 4\)

<=>4m+6<4m+4<=>6<4

không có giá trị m nào để \(\dfrac{x_1+x_2}{x_1.x_2}< 4\)