P = 4a² + 4ab + 4b² - 12a - 12b + 12

= [(4a² - 12a + 9) + (4ab - 6b) + b²] + (3b² - 6b + 3)

= [(2a - 3)² + 2b(2a - 3) + b²] + 3(b - 1)²

= (2a + b - 3)² + 3(b - 1)²\(\ge0\)

Dấu = xảy ra khi a = b = 1

Ta đặt \(1\left\{\begin{matrix}\frac{x}{a}=m\\\frac{y}{b}=n\\\frac{z}{c}=p\end{matrix}\right.\)

Thì bài toán trở thành

Cho \(m+n+p=1\) (1) và \(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}=0\)(2)

Tính \(m^2+n^2+p^2+2011\)

Từ (2) ta suy ra: mn + np + pm = 0

Từ (1) ta suy ra

(m + n + p)² = 1

\(\Leftrightarrow m^2+n^2+p^2=1-2\left(mn+np+pm\right)=1\)

\(\Rightarrow m^2+n^2+p^2+2011=1+2011=2012\)

\(2x^2-2xy+y^2+4x+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2+4x+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x+2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x=y\\x=-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=y=-2\)

\(\Rightarrow A=x^4+y^4=\left(-2\right)^4+\left(-2\right)^4=16+16=32\)

2/ \(a\left(x-a\right)^2+b\left(x-b\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)x^2-2\left(a^2+b^2\right)x+a^3+b^3=0\)

Với a = - b thì x = 0

Với a \(\ne\) - b thì ta có

\(\Delta'=\left(a^2+b^2\right)^2-\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow-ab\left(a-b\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a=b\)

Vậy ta có ĐPCM

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+3}\)

Điều kiện: \(\left\{\begin{matrix}x\ne0\\x\ne1\\x\ne2\\x\ne3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}=-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{x^2+2x}=\frac{2}{-x^2-4x-3}\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x+x^2+4x+3=0\)

\(\Leftrightarrow2x^2+6x+3=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}x=\frac{-3+\sqrt{3}}{2}\\x=\frac{-3-\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\)

Câu 1/

\(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0\)

Dễ thấy x = 1 không phải là nghiệm của phương trình

\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^7-1=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\) (loại)

Vậy pt vô nghiệm

Câu 2/

\(x^4-2x^3+4x^2-3x+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^4-2x^3+x^2\right)+\left(3x^2-3x+\frac{3}{4}\right)+\frac{5}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-x\right)^2+3\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{4}=0\)

Vậy phương trình vô nghiệm

Giả sử d là ước chung lớn nhất của (2m + 3) và (m + 1)

Ta có: 2m + 2 chia hết cho d và 2m + 3 chia hết cho d nên

2m + 3 - 2m - 2 = 1 chia hết cho d

\(\Rightarrow\) d = 1 hoặc d = - 1

\(\Rightarrow\) 2m + 3 và m + 1 nguyên tố cùng nhau

Vậy phân số \(\frac{2m+3}{m+1}\) là phân số tối giản.

Câu còn lại làm tương tự

Câu 2 chứng minh cái đó sao b

1/ Để cho \(\left(n^2+3\right)⋮\left(n+1\right)\) thì

\(A=\frac{n^2+3}{n+1}\) là 1 số nguyên

Ta có: \(A=\frac{n^2+3}{n+1}=n-1+\frac{4}{n+1}\)

Để A nguyên thì (n + 1) phải là ước nguyên của 4 hay

\(\left(n+1\right)=\left(-4,-2,-1,1,2,4\right)\)

\(\Rightarrow x=\left(-5,-3,-2,0,1,3\right)\)

Điều kiện: \(\left\{\begin{matrix}x\ge0\\y\ge1\\z\ge2\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{x+y+z}{2}\)

\(\Leftrightarrow-2\sqrt{x}-2\sqrt{y-1}-2\sqrt{z-2}+x+y+z=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\sqrt{x}+1\right)+\left(y-1-2\sqrt{y-1}+1\right)+\left(z-2-2\sqrt{z-2}+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-2}-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}\sqrt{x}=1\\\sqrt{y-1}=1\\\sqrt{z-2}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x=1\\y=2\\z=3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x_0^2+y_0^2+z_0^2=1^2+2^2+3^2=14\)