\(ĐK:x\ne2\\ \dfrac{2m-1}{x-2}=m-3\\ \Leftrightarrow2m-1=\left(m-3\right)\left(x-2\right)\\ \Leftrightarrow mx-3x=4m-7\\ \Leftrightarrow\left(m-3\right)x=4m-7\)

Phương trình vô nghiệm\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-3=0\\4m-7\ne0\end{matrix}\right.\Rightarrow m=3\)

1.\(P=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)+2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)-3x-9}{x-9}=\dfrac{x-3\sqrt{x}+2x+6\sqrt{x}-3x-9}{x-9}=\dfrac{3\sqrt{x}-9}{x-9}=\dfrac{3\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}=\dfrac{3}{\sqrt{x}+3}\)

2.\(P=\dfrac{3}{\sqrt{x}+3}\le\dfrac{3}{3}=1\)

GTLN của P là 1 khi x = 0

Ta có:

\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=9\\ \Leftrightarrow a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ac}=9\\ \Leftrightarrow\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=2\)

\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{a}}{a+2}+\dfrac{\sqrt{b}}{b+2}+\dfrac{\sqrt{c}}{c+2}=\dfrac{\sqrt{a}}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}+\dfrac{\sqrt{b}}{b+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}+\dfrac{\sqrt{c}}{c+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}\\ =\dfrac{\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}+\dfrac{\sqrt{b}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}+\dfrac{\sqrt{c}}{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}\\ =\dfrac{\sqrt{a}\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+\sqrt{b}\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)+\sqrt{c}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}\\ =\dfrac{2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}\\ =\dfrac{4}{\sqrt{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)^2}}\)\(=\dfrac{4}{\sqrt{\left(a+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\left(b+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\left(c+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)}}\\ =\dfrac{4}{\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}\)

ĐK: \(x\ge0\)

\(\dfrac{\sqrt{x}+1+x}{\sqrt{x}}=\dfrac{13}{3}\\ \Leftrightarrow\\3\left(\sqrt{x}+1+x\right)=13\sqrt{x}\\ \Leftrightarrow3+3x=10\sqrt{x}\Leftrightarrow9+18x+9x^2=100x\\ \Leftrightarrow\\\left(x-9\right)\left(9x-1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=9\\x=\dfrac{1}{9}\end{matrix}\right.\)

\(\sqrt{6-4\sqrt{2}}-\sqrt{19-6\sqrt{2}}\\ =\sqrt{\left(2-\sqrt{2}\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{18}-1\right)^2}\\ =2-\sqrt{2}-\sqrt{18}+1\\ =3-4\sqrt{2}\)

Số cần tìm là \(\overline{abcd}\)

a có 5 cách chọn

b có 5 cách chọn

c có 5 cách chọn

d có 3 cách chọn

\(\Rightarrow\)lập được \(5.5.5.3=375\) số

Min M = 3

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(4\left(a^2+b^2+c^2\right)=\dfrac{4}{3}.\left(1+1+1\right).\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\dfrac{4}{3}\left(a+b+c\right)^2=\dfrac{4}{3}.\dfrac{9}{4}=3\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{2}\)

\(\sqrt{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}-\sqrt{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}\Rightarrow x^2=4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}+4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}-2\sqrt{\left(4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}\right)\left(4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}\right)}=8-2\sqrt{6-2\sqrt{5}}=8-2\sqrt{\left(1-\sqrt{5}\right)^2}=8-2\left(\sqrt{5}-1\right)=10-2\sqrt{5}\Rightarrow x=\sqrt{10-2\sqrt{5}}\)

Bài 2: Gọi vận tốc của cano khi nước yên lặng là \(x\left(km/h\right)\left(x>0\right)\)

Thời gian cano đi và về bằng thời gian người đi bộ đi được 8km và bằng:\(\dfrac{8}{4}=2\left(h\right)\)

Thời gian cano chạy đi : \(\dfrac{24}{x+4}\left(h\right)\)

Thời gian cano chạy về: \(\dfrac{24-8}{x-4}=\dfrac{16}{x-4}\left(h\right)\)

Ta có pt: \(\dfrac{24}{x+4}+\dfrac{16}{x-4}=2\Rightarrow24x-96+16x+64=2x^2-32=0\Leftrightarrow20x-x^2=0\Leftrightarrow x\left(20-x\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=20\end{matrix}\right.\)

Vì vận tốc của cano > 0 nên x = 20.Vậy vận tốc của cano khi nước yên lặng là 20km/h