\( M=\sqrt{1+x^2+\dfrac{x^2}{\left(x+1\right)^2}}+\dfrac{x}{x+1}\\ =\sqrt{\dfrac{x^2+2x+1+x^4+2x^3+x^2+x^2}{\left(x+1\right)^2}}+\dfrac{x}{x+1}\\ =\sqrt{\dfrac{x^4+2x^3+3x^2+2x+1}{\left(x+1\right)^2}}+\dfrac{x}{x+1}\\ =\sqrt{\dfrac{\left(x^2+x+1\right)}{\left(x+1\right)^2}}+\dfrac{x}{x+1}\\ =\dfrac{\left|x^2+x+1\right|}{\left|x+1\right|}+\dfrac{x}{x+1}\)

Nếu còn rút gọn nữa thì chia làm 2 trường hợp rồi giải tiếp

a)Bạn tính lại nha...Mình ra \(A=-x+\sqrt{x}\)

b)\(A=-x+\sqrt{x}=-\left(x-2.\dfrac{1}{2}.\sqrt{x}+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{4}\\ =-\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\le\dfrac{1}{4}\)

Vậy GTLN của A là \(\dfrac{1}{4}\) khi \(x=\dfrac{1}{4}\)

\(2=\left|a-1\right|+\left|b-1\right|\ge\left|a-1+b-1\right|=\left|a+b-2\right|\)

Với \(a+b-2\ge0\Leftrightarrow a+b\ge2\) thì:

\(a+b-2\le2\Leftrightarrow a+b\le4\Rightarrow\left|a+b-1\right|\le\left|4-1\right|=3\)

Dấu "=" xảy ra \(\left\{{}\begin{matrix}2\le a+b\le4\\a+b=4\\\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\ge1,b\ge1\\a+b=4\end{matrix}\right.\)

Với \(a+b-2\le0\Leftrightarrow a+b\le2\) thì:

\(-a-b+2\le2\Leftrightarrow a+b\ge0\Rightarrow\left|a+b-1\right|\ge\left|0-1\right|=1\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b\le2\\a+b=0\\\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\le1,b\le1\\a+b=0\end{matrix}\right.\)

Vậy GTNN của \(\left|a+b-1\right|\) là 1 khi \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=0\\a\le1,b\le1\end{matrix}\right.\)

GTLN của $\left|a+b-1\right|$ là 3 khi $\hept{\begin{matrix}a\ge 1,b\ge 1\\a+b=4\end{matrix}}$

\(xy=x^2+2y\Leftrightarrow x^2=xy-2y\\ \Leftrightarrow x^2=y\left(x-2\right)\\ \Leftrightarrow y=\dfrac{x^2}{x-2}\\ \Leftrightarrow y=\left(x+2\right)+\dfrac{4}{x-2}\)

Để y nguyên thì \(\dfrac{4}{x-2}\in Z\) suy ra \(x-2\in U\left(4\right)=\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\)

Từ đó ta có: \(x=3\left(TM\right)\Rightarrow y=9\left(TM\right);\\ x=1\left(TM\right)\Rightarrow y=-1\left(KTM\right);\\ x=0\left(KTM\right);\\ x=4\left(TM\right)\Rightarrow y=8\left(TM\right);\\ x=6\left(TM\right)\Rightarrow y=9\left(TM\right);\\ x=-2\left(KTM\right)\)

Vậy các nghiệm nguyên dương của phương trình là \(\left(x,y\right)=\left(3;9\right),\left(4;8\right),\left(6;9\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^4-2xy^3=0\left(1\right)\\x^2+2y^2-2xy=1\left(2\right)\end{matrix}\right.\\ \)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow2xy^3=x^2+y^4\Leftrightarrow2xy=\dfrac{x^2+y^4}{y^2}=\dfrac{x^2}{y^2}+y^2\left(3\right)\)

Thế (3)\(\) vào (2) ta được:

\(\left(2\right)\Leftrightarrow x^2+2y^2-\left(\dfrac{x^2}{y^2}+y^2\right)=1\Leftrightarrow x^2+y^2-\dfrac{x^2}{y^2}-1=0\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)-\left(\dfrac{x^2}{y^2}+1\right)=0\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)-\left(\dfrac{x^2+y^2}{y^2}\right)=0\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)\left(1-\dfrac{1}{y^2}\right)=0\Rightarrow y=1\)Thế y=1 vào (3) ta được:

\(\left(3\right)\Leftrightarrow2x=x^2+1\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\Leftrightarrow x=1\)

Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\)

\(A=\dfrac{1}{5x-3\sqrt{x}+5}=\dfrac{1}{5\left(x-\dfrac{3}{5}\sqrt{x}+1\right)}\\ =\dfrac{1}{5\left(x-2.\dfrac{3}{10}\sqrt{x}+\dfrac{9}{100}\right)+\dfrac{91}{20}}=\dfrac{1}{5\left(\sqrt{x}-\dfrac{3}{10}\right)^2+\dfrac{91}{20}}\le\dfrac{20}{91}\)

Vậy GTLN của A là \(\dfrac{20}{91}\) tại \(x=\dfrac{9}{100}\)

a) \(\sqrt[4]{49+20\sqrt{6}}+\sqrt[4]{49-20\sqrt{6}}=\sqrt[4]{25+2\sqrt{600}+24}+\sqrt[4]{25-2\sqrt{600}+24}\\ =\sqrt[4]{\left(\sqrt{25}+\sqrt{24}\right)^2}+\sqrt[4]{\left(\sqrt{25}-\sqrt{24}\right)^2}=\sqrt{\sqrt{25}+\sqrt{24}}+\sqrt{\sqrt{25}-\sqrt{24}}\\ =\sqrt{5+2\sqrt{6}}+\sqrt{5-2\sqrt{6}}=\sqrt{3+2\sqrt{6}+2}+\sqrt{3-2\sqrt{6}+2}\\ =\sqrt{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2}=\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}\\ =2\sqrt{3}\)

Gọi thương của phép chia \(P\left(x\right)\) cho \(x^3-x\) là \(Q\left(x\right)\)

Vì đa thức chia có bậc 3 nên đa thức dư có bậc không quá 2.

Ta có: \(P\left(x\right)=1+x+x^9+x^{25}+x^{49}+x^{81}=Q\left(x\right).x\left(x-1\right)\left(x+1\right)+ax^2+bx+c\)Với \(x=1\) ta có: \(a+b+c=6\) (1)

Với \(x=-1\) ta có: \(a-b+c=-4\) (2)

Với \(x=0\) ta có: \(c=1\)

Thế \(c=1\) vào (1) và (2) ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=5\\a-b=-5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=0\\b=5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow R\left(x\right)=5x+1\)

\(a+b+c=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\\ \Leftrightarrow a+b+c=\dfrac{bc+ac+ab}{abc}\\ \Leftrightarrow a+b+c=bc+ac+ab\\ \Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ac+abc-1=0\\ -a\left(b-1\right)-c\left(b-1\right)+ac\left(b-1\right)+\left(b-1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(b-1\right)\left(-a-c+ac+1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\b=1\\c=1\end{matrix}\right.\)