a) \(A=4+4^2+4^3+...+4^{50}\)

\(\Leftrightarrow4A=4^2+4^3+...+4^{51}\)

\(\Leftrightarrow4A-A=\left(4^2+4^3+...+4^{51}\right)-\left(4+4^2+4^3+...+4^{50}\right)\)

\(\Leftrightarrow3A=4^{51}-4\)

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{4^{51}-4}{3}\)

\(\dfrac{12+y}{300+y}.100=10\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{12+y}{300+y}=\dfrac{1}{10}\)

\(\Leftrightarrow10\left(12+y\right)=300+y\)

\(\Leftrightarrow120+10y=300+y\)

\(\Leftrightarrow120+10y-y=300\)

\(\Leftrightarrow120+9y=300\)

\(\Leftrightarrow9y=180\)

\(\Leftrightarrow y=20\)

Vậy y=20

\(A=3+3^2+3^3+....+3^{2008}\)

\(\Leftrightarrow3A=3^2+3^3+3^4+....+3^{2009}\)

\(\Leftrightarrow3A-A=\left(3^2+3^3+3^4+....+3^{2009}\right)-\left(3+3^2+3^3+....+3^{2008}\right)\)

\(\Leftrightarrow2A=3^{2009}-3\)

\(\Leftrightarrow2A+3=3^x=3^{2009}-3+3=3^{2009}\)

Vậy x=3 để \(2A+3=3^x\)

Ta có: \(3x=5y=7z\) \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{x}{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{y}{\dfrac{1}{5}}=\dfrac{z}{\dfrac{1}{7}}\) và \(x+y-z=41\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{y}{\dfrac{1}{5}}=\dfrac{z}{\dfrac{1}{7}}=\dfrac{x+y-z}{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}}=\dfrac{41}{\dfrac{41}{105}}=105\)

\(\dfrac{x}{\dfrac{1}{3}}=105\Rightarrow x=105.\dfrac{1}{3}=35\)

\(\dfrac{y}{\dfrac{1}{5}}=105\Rightarrow y=105.\dfrac{1}{5}=21\)

\(\dfrac{z}{\dfrac{1}{7}}=105\Rightarrow z=105.\dfrac{1}{7}=15\)

Vậy \(x=35\); \(y=21\); \(z=15\)

a) \(2^{90}\) và \(5^{36}\)

\(2^{90}=\left(2^5\right)^{18}=32^{18}\)

\(5^{36}=\left(5^2\right)^{18}=25^{18}\)

Vì \(32>25\)

Nên \(32^{18}>25^{18}\)

Vậy \(2^{90}>5^{36}\)

b) \(2^{27}\) và \(3^{18}\)

\(2^{27}=\left(2^3\right)^9=8^9\)

\(3^{18}=\left(3^2\right)^9=9^9\)

Vì \(8< 9\)

Nên \(8^9< 9^9\)

Vậy \(2^{27}< 3^{18}\)

c) \(25^{50}\) và \(2^{300}\)

\(2^{300}=\left(2^6\right)^{50}=64^{50}\)

Vì \(25< 64\)

Nên \(25^{50}< 64^{50}\)

Vậy \(25^{50}< 2^{300}\)

Độ dài của thật quảng là:

19,8÷1×1000000=19800000cm <=> 198km

Vậy độ dài thật của quảng đường ấy bằng 198km