Giải:

\(a+4b⋮13\)

\(\Rightarrow10\left(a+4b\right)⋮13\)

Ta có:

\(10\left(a+4b\right)=10a+40b=10a+b+39b\)

Mà \(39b=3.13.b⋮13\)

\(\Rightarrow10a+b⋮13\)

Vậy nếu \(a+4b⋮13\Rightarrow10a+b⋮13\) (Đpcm)

Đặt \(A=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{6^2}+...+\dfrac{1}{100^2}\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{1}{2^2}\left(1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{50^2}\right)\)

Ta có:

\(\dfrac{1}{2^2}< \dfrac{1}{1.2};\dfrac{1}{3^2}< \dfrac{1}{2.3};...;\dfrac{1}{50^2}< \dfrac{1}{49.50}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{50^2}< \dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{49.50}\)

\(=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{49}-\dfrac{1}{50}\)

\(=1-\dfrac{1}{50}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{50^2}< 1\)

\(\Rightarrow1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{50^2}< 1+1=2\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{1}{2^2}\left(1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{50^2}\right)< \dfrac{1}{2^2}.2=\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{6^2}+...+\dfrac{1}{100^2}< \dfrac{1}{2}\) (Đpcm)

Áp dụng tính chất \(\dfrac{a}{b}< 1\Rightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+m}{b+m}\) ta có:

\(A=\dfrac{10^{1992}+1}{10^{1993}+1}< \dfrac{10^{1992}+1+9}{10^{1993}+1+9}=\dfrac{10^{1992}+10}{10^{1993}+10}\)

\(=\dfrac{10\left(10^{1991}+1\right)}{10\left(10^{1992}+1\right)}=\dfrac{10^{1991}+1}{10^{1992}+1}\)

\(\Rightarrow\dfrac{10^{1992}+1}{10^{1993}+1}< \dfrac{10^{1991}+1}{10^{1992}+1}\)

Hay \(A>B\)

Ta có:

\(B=\dfrac{10n-3}{4n-10}=\dfrac{5\left(2n-5\right)+22}{2\left(n-5\right)}=\dfrac{5}{2}+\dfrac{22}{2\left(2n-5\right)}=\dfrac{5}{2}+\dfrac{11}{2n-5}\)

Để \(B\) đặt giá trị lớn nhất \(\Leftrightarrow\dfrac{11}{2n-5}\) đạt giá trị lớn nhất

Mà \(11>0\Leftrightarrow\dfrac{11}{2n-5}\) đạt giá trị lớn nhất khi:

\(2n-5>0\) và đạt giá trị nhỏ nhất

\(\Leftrightarrow2n-5=1\Leftrightarrow2n=6\Leftrightarrow n=3\)

\(\Leftrightarrow\) Giá trị lớn nhất đó là \(B_{MAX}=11+\dfrac{5}{2}=13,5\)

Vậy \(B_{MAX}=13,5\) tại \(n=3\)

Câu 1 mình làm rồi, bạn tìm trong câu hỏi tương tự ấy.

Câu 2:

a) Đặt \(n^2+2006=a^2\left(a\in Z\right)\)

\(\Rightarrow2006=a^2-n^2=\left(a-n\right)\left(a+n\right)\)

Mà \(\left(a+n\right)-\left(a-n\right)=2n⋮2\)

\(\Rightarrow a+n\) và \(a-n\) có cùng tính chẵn, lẻ

Nếu \(a+n\) và \(a-n\) cùng lẻ \(\Rightarrow\left(a-n\right)\left(a+n\right)\) lẻ (loại)

Nếu \(a+n\) và \(a-n\) cùng chẵn \(\Rightarrow\left(a-n\right)\left(a+n\right)⋮4\) (loại)

Vậy không có số nguyên \(n\) nào thỏa mãn \(n^2+2006\) là số chính phương

b) Vì \(n\) là số nguyên tố lớn hơn \(3\Rightarrow n\) \(⋮̸\) \(3\)

\(\Rightarrow\left[\begin{matrix}n=3k+1\\n=3k+2\end{matrix}\right.\)\(\left(k\ne0\right)\)

Nếu \(n=3k+1\Rightarrow n^2+2006=\left(3k+1\right)^2+2006\)

\(=9k^2+6k+2007⋮3;>3\Rightarrow n\) là hợp số

Nếu \(n=3k+2\Rightarrow n^2+2006=\left(3k+2\right)^2+2006\)

\(=9k^2+12k+2010⋮3;>3\Rightarrow n\) là hợp số

Vậy \(n^2+2006\) là hợp số

Phân tích phân số \(\dfrac{30}{43}\) ta có:

\(\dfrac{30}{43}=\dfrac{1}{\dfrac{43}{30}}=\dfrac{1}{1+\dfrac{13}{30}}=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\dfrac{30}{13}}}=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2+\dfrac{4}{13}}}\)

\(=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{\dfrac{13}{4}}}}=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{4}}}}=\dfrac{1}{a+\dfrac{1}{b+\dfrac{1}{c+\dfrac{1}{d}}}}\)

Vậy: \(\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\\c=3\\d=4\end{matrix}\right.\)

\(H=\frac{10}{56}+\frac{10}{140}+\frac{10}{260}+...+\frac{10}{1400}\)

\(\Rightarrow H=\frac{5}{28}+\frac{5}{70}+\frac{5}{130}+...+\frac{5}{700}\)

\(\Rightarrow\frac{3H}{5}=\frac{3}{4.7}+\frac{3}{7.10}+\frac{3}{10.13}+...+\frac{3}{25.28}\)

\(\Rightarrow\frac{3H}{5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}+\frac{1}{10}-\frac{1}{13}+...+\frac{1}{25}-\frac{1}{28}\)

\(\Rightarrow\frac{3H}{5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{28}\)

\(\Rightarrow\frac{3H}{5}=\frac{3}{14}\)

\(\Rightarrow H=\frac{3}{14}.\frac{5}{3}\)

\(\Rightarrow H=\frac{5}{14}\)

Vậy \(H=\frac{5}{14}\)