Giải:

Ta có:

\(\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{c}\div\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{c}.\dfrac{2}{1}=\dfrac{a+b}{ab}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{c}=\dfrac{a+b}{ab}\)

\(\Leftrightarrow2ab=ac+bc\left(1\right)\)

Lại có:

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a-c}{c-b}\)

\(\Leftrightarrow a\left(c-b\right)=b\left(a-c\right)\)

\(\Leftrightarrow ac-ab=ab-bc\)

\(\Leftrightarrow2ab=ac+bc\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\)

\(\Leftrightarrow\) Nếu \(\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{a-c}{c-b}\) (Đpcm)

- 8 đọc là âm 8, dấu âm giống như nợ vậy đó

VD : nếu thực hiện phép tính 8 + (-8)

Thì sẽ giống như có 8 và + thêm nợ 8 nữa vậy sẽ = 0

=> 8 + (-8) = 8 - 8 = 0

Gọi 3 số tự nhiên cần tìm là \(a;b;c\)

Ta có:

\(\frac{a}{5}=\frac{b}{9}=\frac{c}{7}\Rightarrow\frac{a}{10}=\frac{b}{18}=\frac{c}{7}\)

Lại gọi \(\frac{a}{10}=\frac{b}{18}=\frac{c}{7}=k\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a=10k\\b=18k\\c=7k\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow BCNN\left(a;b;c\right)=BCNN\left(10k;18k;7k\right)\)

\(\Rightarrow BCNN\left(10;18;7\right).k=3150\)

\(\Rightarrow630k=3150\)

\(\Rightarrow k=\frac{3150}{630}=5\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a=10k\\b=18k\\c=7k\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a=5.10\\b=5.18\\c=5.7\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a=50\\b=90\\c=35\end{matrix}\right.\)

Vậy 3 số tự nhiên cần tìm lần lượt là \(50;90;35\)

Ta có:

\(A=\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}\)

\(\Rightarrow A=\left(100a+10b+c\right)+\left(100b+10c+a\right)+\left(100c+10a+b\right)\)

\(\Rightarrow A=100a+10b+c+100b+10c+a+100c+10a+b\)

\(\Rightarrow A=\left(100a+10a+a\right)+\left(100b+10b+b\right)+\left(100c+10c+c\right)\)

\(\Rightarrow A=111a+111b+111c\)

\(\Rightarrow A=111\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow A=37.3\left(a+b+c\right)\)

Giả sử \(A\) là số chính phương thì \(A\) phải chứa thừa số nguyên tố \(37\) mũ chẵn nên:

\(3\left(a+b+c\right)⋮37\)

\(\Rightarrow a+b+c⋮37\)

Điều này không xảy ra vì \(1\le a+b+c\le27\)

Vậy \(A=\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}\) không là số chính phương (Đpcm)

Giải:

\(\left|x\right|+\left|y\right|\ge\left|x+y\right|\Leftrightarrow\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)^2\ge\left(\left|x+y\right|\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+2\left|xy\right|+y^2\ge x^2+2xy+y^2\)

\(\Leftrightarrow\left|xy\right|\ge xy\)

Do bất đẳng thức cuối cùng đúng nên bất đẳng thức ban đầu đúng

Dấu \("="\) xảy ra khi \(\left|xy\right|=xy\Leftrightarrow xy\ge0\)

Vậy \(\left|x\right|+\left|y\right|\ge\left|x+y\right|\) (Đpcm)

Vì \(f\left(x_1.x_2\right)=f\left(x_1\right).f\left(x_2\right)\) nên:

\(f\left(4\right)=f\left(2.2\right)=f\left(2\right).f\left(2\right)=10.10=100\)

\(f\left(16\right)=f\left(4.4\right)=f\left(4\right).f\left(4\right)=100.100=10000\)

\(f\left(32\right)=f\left(16.2\right)=f\left(16\right).f\left(2\right)=10000.10=100000\)

Vậy \(f\left(32\right)=100000\)

Ta có:

\(A=\dfrac{1}{21}+\dfrac{1}{28}+\dfrac{1}{36}+...+\dfrac{1}{x\left(x+1\right)}=\dfrac{2}{9}\)

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{1}{3.7}+\dfrac{1}{4.7}+\dfrac{1}{4.9}+...+\dfrac{1}{x\left(x+1\right)}=\dfrac{2}{9}\)

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{1.2}{2.3.7}+\dfrac{1.2}{2.4.7}+\dfrac{1.2}{2.4.9}+...+\dfrac{1.2}{x\left(x+1\right)}=\dfrac{2}{9}\)

\(\Leftrightarrow A=2\left(\dfrac{2}{6.7}+\dfrac{2}{7.8}+\dfrac{2}{8.9}+...+\dfrac{2}{x\left(x+1\right)}\right)=\dfrac{2}{9}\)

\(\Leftrightarrow A=2\left(\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}\right)=\dfrac{2}{9}\)

\(\Leftrightarrow A=2\left(\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{x+1}\right)=\dfrac{2}{9}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{9}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{9}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{18}\)

\(\Leftrightarrow x+1=18\)

\(\Leftrightarrow x=17\)

Vậy \(x=17\)