Giải:

Nhận xét: Từ phương trình suy ra \(x>0\)

Ta có:

\(PT\Leftrightarrow\sqrt{x^2+\dfrac{4}{x^2}-1}+\sqrt{x^2+\dfrac{4}{x^2}+20}=7\)

Đặt \(t=x^2+\dfrac{4}{x^2}-1\ge0\) ta được phương trình:

\(\sqrt{t}+\sqrt{t+21}=7\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{t}-2\right)\left(\sqrt{t+21}-5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-4\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{t}+2}+\dfrac{1}{\sqrt{t+21}+5}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow t=4\). Ta được: \(x^2+\dfrac{4}{x^2}-1=4\)

\(\Leftrightarrow x^4-5x^2+4=0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2\end{matrix}\right.\) (do \(x>0\))

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là \(\left\{1;2\right\}\)

Giải:

\(a,b\) là các số dương \(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}>0\)

Không giảm tính tổng quát

Ta giả sử \(a\ge b\Leftrightarrow a=b+m\left(m\ge0\right)\)

Ta có:

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{b+m}{b}+\dfrac{b}{b+m}\)

\(=1+\dfrac{m}{b}+\dfrac{b}{b+m}\ge1+\dfrac{m}{b+m}+\dfrac{b}{b+m}\)

\(=1+\dfrac{m+b}{b+m}=1+1=2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=0\\a=b\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\) (Đpcm)

Nhận xét:

Trong một BĐT có chứa chữ, nếu các chữ \(a\) và \(b\) có vai trò như nhau, ta có thể thay \(a\) bởi \(b\); \(b\) bởi \(a\), do đó ta có thể sắp thú tự tùy ý cho nên trong cách giải trên ta đã giả sử \(a\ge b\) mà không sợ mất tính tổng quát.

Đề sai rồi! Sửa đề: Cho \(S_1=\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}z...\)

Giải:

Ta có:

\(S_1+S_2+S_3=\left(\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}z\right)+\left(\dfrac{a}{b}x+\dfrac{c}{b}y\right)\)\(+\left(\dfrac{a}{c}z+\dfrac{b}{c}y\right)\)

\(=\left(\dfrac{b}{a}x+\dfrac{a}{b}x\right)+\left(\dfrac{c}{b}y+\dfrac{b}{c}y\right)+\left(\dfrac{c}{a}z+\dfrac{a}{c}z\right)\)

\(=\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\right)x+\left(\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{c}\right)y+\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}\right)z\)

Dễ thấy: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\ge2\\\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{c}\ge2\\\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}\ge2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow S_1+S_2+S_3\ge2x+2y+2z\)

\(=2\left(x+y+z\right)=2.1008=2016\)

Vậy \(S_1+S_2+S_3\ge2016\) (Đpcm)

a) \(-5< x< 1\)

\(\Leftrightarrow x\in\left\{-4;-3;-2;-1;0\right\}\)

b) Ta có: \(\left|x\right|< 3\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}\left|x\right|\ge0\\\left|x\right|< 3\end{matrix}\right.\) nên \(0\le\left|x\right|< 3\)

\(\Rightarrow\left|x\right|\in\left\{0;1;2\right\}\Leftrightarrow x\in\left\{0;\pm1;\pm2\right\}\)

Vậy \(x\in\left\{0;\pm1;\pm2\right\}\)

c) Ta có: \(\left(x-3\right)\left(x-5\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow x-3\) và \(x-5\) trái dấu

Dễ thấy \(x-5< x-3\)

Nên \(\left\{{}\begin{matrix}x-5< 0\\x-3>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x< 5\\x>3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow3< x< 5\)

Vậy \(3< x< 5\)

    5+5^2 +5^3 +5^4...+5^99+5^100

= ( 5+5^2)+(5^3+5^4)+....+(5^99+5^100)

= 5(1+5)+5^3(1+5)+....+5^99(1+5)

=  5.6+5^3.6+....+5^99.6

= (5+5^3+....+5^99).6

Vì  (5+5^3+....+5^99).6 chia hết cho 6 nên 5+5^2 +5^3 +5^4...+5^99+5^100 chia hết cho 6.

Ta có:

\(H\left(x\right)=ax^2+bx+c\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}H\left(-1\right)=a.\left(-1\right)^2+b.\left(-1\right)+c\\H\left(-2\right)=a.\left(-2\right)^2+b.\left(-2\right)+c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}H\left(-1\right)=a-b+c\\H\left(-2\right)=4a-2b+c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow H\left(-1\right)+H\left(-2\right)\) \(=\left(a-b+c\right)+\left(4a-2b+c\right)\)

\(=\left(a+4a\right)-\left(b+2b\right)+\left(c+c\right)\)

\(=5a-3b+2c=0\Rightarrow H\left(-1\right)=-H\left(-2\right)\)

\(\Rightarrow H\left(-1\right).H\left(-2\right)=\left[-H\left(-2\right)\right].H\left(-2\right)\)

\(=-H^2\left(-2\right)\)

Mà \(H^2\left(-2\right)\ge0\Leftrightarrow-H^2\left(-2\right)\le0\)

Vậy \(H\left(-1\right).H\left(-2\right)\le0\) (Đpcm)