Ta có:

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) = 1

=> 1 + 2(ab+ bc + ca) = 1 => ab + bc + ca = 0 (*)

(a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(b + c)(c + a) = 1

=> 1 + 3(a + b)(b + c)(c + a) = 1

=> (a + b)(b + c)(c + a) = 0

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=0\\b+c=0\\c+a=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-b\\b=-c\\c=-a\end{matrix}\right.\)

+) a = -b, thay vào (*) ta được: -b² + bc - bc = 0

=> -b² = 0 => b = 0 = a

=> abc = 0

TT cho 2 trường hợp còn lại ta cũng được abc = 0

Ta có:

(x + y)³ = x³ + y³ + 3xy(x + y) = 1

=> a + 3xy = 1 => a = 1 - 3xy

5a(a + 1) = 5(1 - 3xy)(2 - 3xy) = 5(2 - 9xy + 9x²y²)

= 10 - 45xy + 45x²y² (1)

(x + y)⁵ = x⁵ + y⁵ + 5xy(x³ + x²y + x²y + xy² + xy² + y³) = 1

=> b + 5xy(x + y)(x² + xy + y²) = 1

=> b + 5xy(x² + xy + y²) = 1 (

=> b + 5xy(x + y)² - 5x²y² = 1

=> b = 1 + 5x²y² - 5xy

=> 9b + 1 = 9 + 45x²y² - 45xy + 1 = 10 + 45x²y² - 45xy (2)

Từ (1) và (2) => 5a(a + 1) = 1 + 9b (đpcm)

Áp dụng bđt AM-GM cho 2 số không âm ta có:

\(\dfrac{1}{\sqrt{1.2006}}>\dfrac{1}{\dfrac{1+2006}{2}}=\dfrac{2}{2007}\)

TT: \(\dfrac{1}{\sqrt{2.2005}}>\dfrac{2}{2007}\)

...

\(\dfrac{1}{\sqrt{2006.1}}>\dfrac{2}{2007}\)

Cộng vế với vế ta được:

\(S>\dfrac{2}{2007}.2006\)

ko đc tag tên có đc lm ko

Cách khác:

\(A=\dfrac{x+8}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{x-1}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}-1+\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\sqrt{x}+1+\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}-2\ge2\sqrt{\left(\sqrt{x}+1\right).\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}}-2=4\)

Dấu "=" xảy ra khi x = 4

Cách khác:

\(A=\dfrac{x+8}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{x-1}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x+1}\right)}{\sqrt{x+1}}+\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\sqrt{x}-1+\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}+1+\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}-2\ge2\sqrt{\left(\sqrt{x}+1\right).\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}}-2=4\)

Dấu "=" xảy ra khi x = 4

Đặt ƯCLN (2n+3, 3n+4) = d

=> 2n+3 chia hết cho d, 3n+4 chia hết cho d

=> 3(2n+3) = 6n+9 chia hết cho d, 2(3n+4)=6n+8 chia hết cho d

=> (6n+9)-(6n+8)= 1 chia hết cho d

=> d=1

Vì ƯCLN (2n+3, 3n+4)=1 nên 2n+3 và 3n+4 nguyên tố cùng nhau.

 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: 3x-2y/37=5y-3z/15=2z-5x/2=0

Suy ra 3x-2y=0 thì 3x=2y thì x/2=y/3

5y-3z=0 thì 5y=3z thì y/3=z/5

2z-5x=0 thì 2z= 5x thì z/5=x/2

Suy ra: x/2=y/3=z/5

 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:  x/2=y/3=z/5=(10x-3y-2z)/(20-9-10)=-4/1=-4

Suy ra x=-8       y=-12       z=-20

Câu 4:

a) 2x² + 2x + 1 = \(\sqrt{4x+1}\) (đk: \(x\ge-\dfrac{1}{4}\))

\(\Rightarrow\left(2x^2+2x+1\right)^2=4x+1\)

<=> 4x⁴ + 4x² + 1 + 8x³ + 4x + 4x² - 4x - 1 = 0

<=> 4x⁴ + 8x³ + 8x² = 0 (*)

+) x = 0, thay vào (*) thỏa mãn

+) x \(\ne0\), chia cả 2 vế của (*) cho 4x² ta được:

x² + 2x + 2 = 0

<=> (x + 1)² + 1 = 0, vô nghiệm

Vậy pt có nghiệm x = 0