\(M=\frac{x^2+2x-9}{x-3}\)\(=\frac{x^2-3x+5x-15+6}{x-3}\)\(=\frac{\left(x-3\right)\left(x+5\right)+6}{x-3}\)

\(M=x+5+\frac{6}{x-3}=x-3+\frac{6}{x-3}+8\)

\(\ge2\sqrt{\left(x-3\right).\frac{6}{x-3}}+8=2\sqrt{6}+8\)

(theo bđt AM-GM cho 2 số dương)

Dấu "=" xảy ra khi \(x-3=\frac{6}{x-3}\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2=6\)

\(\Rightarrow x-3=\sqrt{6}\) (do x - 3 > 0)

\(\Rightarrow x=\sqrt{6}+3\)

Vậy Min M = \(2\sqrt{6}+8\Leftrightarrow x=\sqrt{6}+3\)

|x - 1| + |2x - 6| = 12

+) Nếu x < 1, ta có:

1 - x + 6 - 2x = 12

=> 7 - 3x = 12

=> 3x = 7 - 12 = -5

=> x = -5/3 (TM)

+) Nếu 1 \(\le\)x < 3, ta có: x - 1 + 6 - 2x = 12

=> 5 - x = 12

=> x = 5 - 12 = -7 (không TM)

+) Nếu x\(\ge\) 3, ta có: x - 1 + 2x - 6 = 12

=> 3x - 7 = 12

=> 3x = 12 + 7 = 19

=> x = 19/3 (TM)

Vây x = -5/3; x = 19/3

Gọi độ dài quãng đường AB là S (km; S > 0)

Vận tốc của xe thứ nhất, thứ hai lần lượt là: S/4; S/3

Gọi quãng đường 2 xe đi đến khi gặp nhau lần lượt là: a;b (km; a;b > 0)

Có: b - a = 35

Vì thời gian đi như nhau nên vận tốc và quãng đường là 2 đại lượng tỉ lệ thuận

=> \(\frac{\frac{S}{3}}{\frac{S}{4}}=\frac{b}{a}=\frac{4}{3}\Rightarrow\frac{b}{4}=\frac{a}{3}\)

Áp dụng t/c của dãy tỉ số = nhau ta có:

=> \(\frac{b}{4}=\frac{a}{3}=\frac{b-a}{4-3}=35\)

=> b = 35.4 = 140; a = 35.3 = 105

Độ dài quãng đường AB là:

140 + 105 = 245 (km)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

<=> \(\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)

<=> (x + y)^2\(\ge\) 4xy

<=> x^2 + y^2 + 2xy - 4xy \(\ge\)0

<=> x^2 + y^2 - 2xy \(\ge\)0

<=> (x - y)^2 \(\ge\)0

=> đpcm

c) t/g BMK = t/g CMA (câu b)

=> BK = AC (2 cạnh tương ứng)

Xét t/g ABC và t/g BEK có:

AB = BE (gt)

BAC = EBK ( đồng vị)

AC = BK (cmt)

Do đó, t/g ABC = t/g BEK (c.g.c)

=> BC = EK (2 cạnh tương ứng) (1)

ABC = BEK (2 góc tương ứng)

Mà ABC và BEK là 2 góc ở vị trí đồng vị nên BC // EK (2)

t/g ABM = t/g KCM (câu a)

=> AB = CK (2 cạnh tương ứng)

ABM = KCM (2 góc tương ứng)

Mà ABM và KCM là 2 góc ở vj trí so le trong nên AB // CK

Xét t/g ABC và t/g CKF có:

AB = CK (cmt)

BAC = KCF ( đồng vị)

AC = CF (gt)

Do đó, t/g ABC = t/g CKF (c.g.c)

=> BC = KF (2 cạnh tương ứng) (3)

ACB = CFK (2 góc tương ứng)

Mà ACB và CFK là 2 góc ở vj trí đồng vị nên BC // KF (4)

Từ (1) và (3) => EK = KF

Từ (2) và (4) => E,K,F thẳng hàng

Như vậy K là trung điểm của EF (đpcm)

a) Xét t/g ABM và t/g DCM có:

BM = CM (gt)

AMB = DMC ( đối đỉnh)

MA = MD (gt)

Do đó, t/g ABM = t/g DCM (c.g.c) (đpcm)

b) t/g ABM = t/g DCM (câu a)

=> ABM = DCM (2 góc tương ứng)

Mà ABM và DCM là 2 góc ở vj trí so le trong nên AB // DC (đpcm)

c) t/g AMC = t/g AMB (c.c.c)

=> AMC = AMB (2 góc tương ứng)

Mà AMC + AMB = 180^o ( kề bù)

=> AMC = AMB = 90^o

=> AM _|_ BC (đpcm)

d) AB // CD => BAD = ADC = 30^o (so le trong)

Mà BAD = CAD do t/g AMB = t/g AMC (câu c)

=> BAD + CAD = 2.BAD = 2.30^o = 60^o

T/g ABC cân tại A, có BAC = 60^o

=> t/g BAC đều

Xét t/g DAC và t/g BCA có:

DAC = BCA (so le trong)

AC là cạnh chung

DCA = BAC (so le trong)

Do đó, t/g DAC = t/g BCA (g.c.g)

=> AD = BC (2 cạnh tương ứng)

CD = BA (2 cạnh tương ứng)

Như vậy, P_DAC = P_BCA = AB + BC + CA = 2,5 + 3 + 3,5 = 9 (cm)

a) Có: AB = AC (gt); BD = CE (gt)

=> AB - BD = AC - CE

=> AD = AE

Xét t/g ABE và t/g ACD có:

AB = AC (gt)

A là góc chung

AE = AD (cmt)

Do đó, t/g ABE = t/g ACD (c.g.c)

=> BE = CD (2 cạnh tương ứng) (đpcm)

b) t/g ABC cân tại A

=> ABC = ACB (t/c tam giác cân)

Xét t/g DBC và t/g ECB có:

BD = CE (gt)

DBC = ECB (cmt)

BC là cạnh chung

Do đó, t/g DBC = t/g ECB (c.g.c) (đpcm)

c) t/g DBC = t/g ECB (câu b)

=> BDC = CEB (2 góc tương ứng)

DCB = EBC (2 góc tương ứng)

Mà ACB = ABC (câu b)

=> ACB - DCB = ABC - EBC

=> ACD = ABE

Xét t/g IBD và t/g ICE có:

DBI = ECI (cmt)

BD = CE (gt)

BDI = CEI (cmt)

Do đó, t/g IBD = t/g ICE (g.c.g) (đpcm)

d) t/g IBD = t/g ICE (câu c)

=> ID = IE (2 cạnh tương ứng)

T/g AIE = t/g AID (c.c.c)

=> EAI = DAI (2 góc tương ứng)

=> AI là phân giác của góc A (đpcm)

e) Gọi K là giao điểm của AI ( kéo dài) và BC

t/g AKC = t/g AKB (c.g.c)

=> AKC = AKB (2 góc tương ứng)

Mà AKC + AKB = 180^o ( kề bù)

=> AKC = AKB = 90^o

=> AK _|_ BC hay AI _|_ BC

Mà DH // AI => DH _|_ BC (đpcm)

2) t/g ABC cân tại A => AB = AC (t/c tam giác cân)

Xét t/g ABH và t/g ACK có:

AB = AC (cmt)

A là góc chung

AH = AK (gt)

Do đó, t/g ABH = t/g ACK (c.g.c)

=> ABH = ACK (2 góc tương ứng) (1)

T/g ABC cân tại A => ABC = ACB (t/c tam giác cân)

=> ABC - ABH = ACB - ACK

=> HBC = KCB hay OBC = OCB

=> t/g OBC cân tại O ( dấu hiệu nhận biết t/g cân) (đpcm)