Question

Với x>3. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

M= \(\frac{x^2+2x-9}{x-3}\)

Answer 1

\(M=\frac{x^2+2x-9}{x-3}\)\(=\frac{x^2-3x+5x-15+6}{x-3}\)\(=\frac{\left(x-3\right)\left(x+5\right)+6}{x-3}\)

\(M=x+5+\frac{6}{x-3}=x-3+\frac{6}{x-3}+8\)

\(\ge2\sqrt{\left(x-3\right).\frac{6}{x-3}}+8=2\sqrt{6}+8\)

(theo bđt AM-GM cho 2 số dương)

Dấu "=" xảy ra khi \(x-3=\frac{6}{x-3}\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2=6\)

\(\Rightarrow x-3=\sqrt{6}\) (do x - 3 > 0)

\(\Rightarrow x=\sqrt{6}+3\)

Vậy Min M = \(2\sqrt{6}+8\Leftrightarrow x=\sqrt{6}+3\)