ĐK: \(a\ge0;a\ne1\)

M = \(\left(\dfrac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}+1}+1\right)\left(1+\dfrac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}{1-\sqrt{a}}\right)=\left(1+\sqrt{a}\right)\left(1-\sqrt{a}\right)=1-a\)

\(x^2+y^2=13=\left(\pm2\right)^2+\left(\pm3\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=3\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=-3\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=-3\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=3\end{matrix}\right.\)

hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=2\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-2\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=2\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=-2\end{matrix}\right.\)

VẬY có tất cả 8 cặp nghiệm nguyên x,y thỏa mãn pt trên

\(\left(x+y\right)^2=x^2+2xy+y^2\le x^2+x^2+y^2+y^2=2\left(x^2+y^2\right)=2\)

Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

Vậy max của (x+y)^2 là 2 khi x=y=\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

ta có : \(a+b+c+d=7\Leftrightarrow b+c+d=7-a\Leftrightarrow\left(b+c+d\right)^2=\left(7-a\right)^2\Leftrightarrow b^2+c^2+d^2+2bc+2cd+2bd=\left(7-a\right)^2\)

lại có: \(b^2+c^2+d^2+2bc+2cd+2bd\le b^2+c^2+d^2+b^2+c^2+c^2+d^2+b^2+d^2=3\left(b^2+c^2+d^2\right)=3\left(13-a^2\right)\)

HAY \(\left(7-a\right)^2\le3\left(13-a^2\right)\Leftrightarrow49-14a+a^2\le39-3a^2\Leftrightarrow4a^2-14a+10\le0\Leftrightarrow2a^2-7a+5\le0\Leftrightarrow\left(2a-5\right)\left(a-1\right)\le0\Leftrightarrow1\le a\le\dfrac{5}{2}\)

Vậy GTLN của a là 5/2 , GTNN của a là 1

Trung bình cộng của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của a là (1+5/2):2=7/4