Đặt \(a=\sqrt{2006}-\sqrt{2005}\) , \(b=\sqrt{2006}+\sqrt{2005}\)

Ta sẽ chứng minh \(a=\frac{1}{b}\)

Ta có : \(a=\sqrt{2006}-\sqrt{2005}=\frac{\left(\sqrt{2006}-\sqrt{2005}\right).\left(\sqrt{2006}+\sqrt{2005}\right)}{\sqrt{2006}+\sqrt{2005}}=\frac{2006-2005}{\sqrt{2006}+\sqrt{2005}}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{2006}+\sqrt{2005}}=\frac{1}{b}\)

Vậy a và b là hai số nghịch đảo.

(....)*(53*11-5300*0,1-53)

=(...)*(53*11-53*10-53)

=0

a) \(\sqrt{28}+\sqrt{125}-3\sqrt{343}-\frac{3}{8}\sqrt{396}=2\sqrt{7}+5\sqrt{5}-21\sqrt{7}-\frac{9\sqrt{11}}{4}\)

\(=-19\sqrt{7}+5\sqrt{5}-\frac{9\sqrt{11}}{4}\)

b) \(\sqrt{17-3\sqrt{32}}+\sqrt{17+3\sqrt{32}}=\sqrt{17-12\sqrt{2}}+\sqrt{17+12\sqrt{2}}\)

\(=\sqrt{\left(2\sqrt{2}-3\right)^2}+\sqrt{\left(2\sqrt{2}+3\right)^2}=\left(3-2\sqrt{2}\right)+2\sqrt{2}+3=6\)

Ta có : \(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{x+y+z}{2}\)(ĐKXĐ : \(x\ge0;y\ge1;z\ge2\))

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}+2\sqrt{y-1}+2\sqrt{z-2}=x+y+z\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\sqrt{x}+1\right)+\left(y-1-2\sqrt{y-1}+1\right)+\left(z-2-2\sqrt{z-2}+1\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-2}-1\right)^2=0\) (1)

Mà \(\left(\sqrt{x}-1\right)^2\ge0\); \(\left(\sqrt{y-1}-1\right)^2\ge0\) ; \(\left(\sqrt{z-2}-1\right)^2\ge0\)

Suy ra : (1) \(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(\sqrt{x}-1\right)^2=0\\\left(\sqrt{y-1}-1\right)^2=0\\\left(\sqrt{z-2}-1\right)^2=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}\) (TMĐK)

Vậy \(\left(x_0;y_0;z_0\right)=\left(1;2;3\right)\)

\(S=x_0^2+y_0^2+z_0^2=1^2+2^2+3^2=14\)

Đặt \(y=x+2\Rightarrow x=y-2\)

Ta có : \(\frac{x^2+2x+3}{\left(x+2\right)^2}=\frac{\left(y-2\right)^2+2\left(y-2\right)+3}{y^2}=\frac{y^2-2y+3}{y^2}=\frac{3}{y^2}-\frac{2}{y}+1\)

Lại đặt \(t=\frac{1}{y}\), \(\Rightarrow\frac{3}{y^2}-\frac{2}{y}+1=3t^2-2t+1=3\left(t-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{2}{3}\ge\frac{2}{3}\)

Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow t=\frac{1}{3}\Leftrightarrow y=3\Leftrightarrow x=1\)

Vậy biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{2}{3}\) tại x = 1

Số quyển sách năm thứ nhất tăng là :

23 500 : 100 x 20 = 4 700 ( quyển sách )

Số quyển sách năm thứ hai tăng ( so với năm trước ) là :

( 23 500 + 4 700 ) : 100 x 20 = 5640 ( quyển sách )

Sau 2 năm thư viên đó có số quyển sách là :

23 500 + ( 4 700 + 5 640 ) = 33840 ( quyển sách )

Đáp số : 33 840 quyển sách

Áp dụng bđt Bunhiacopxki :

\(A^2=\left(1.\sqrt{2a+b+1}+1.\sqrt{2b+c+1}+1.\sqrt{2c+a+1}\right)^2\)

\(\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(2a+b+1+2b+c+1+2c+a+1\right)\)

\(\Rightarrow A^2\le3.3\left(a+b+c+1\right)\)

\(\Rightarrow A^2\le36\Rightarrow A\le6\) (Vì A > 0)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\begin{cases}\sqrt{2a+b+1}=\sqrt{2b+c+1}=\sqrt{2c+a+1}\\a+b+c=3\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Vậy A đạt giá trị lớn nhất bằng 6 tại a = b = c = 1

1+2+4+6+7+8+9+x = 8*5 +12x

=> 12x-x = 1+2+4+6+7+8+9 + 8*5

=> 11x = 77

=> x = 7

Đặt \(tan\alpha=x\Rightarrow cot\alpha=\frac{1}{x}\) 

Ta có : \(tan\alpha+cot\alpha=2\) 

\(\Leftrightarrow x+\frac{1}{x}=2\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\)

Vậy \(tan\alpha=1\Rightarrow\alpha=45^o\)(thỏa mãn)

2xyz chứ có phải 2xy đâu :)