Ta có:

\(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{a.b}{c.d}=\frac{a^2+b^2+a.b}{c^2+d^2+c.d}=\frac{a^2+a.b+b^2+a.b}{c^2+c.d+d^2+c.d}\)

\(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{a.b}{c.d}=\frac{a\left(a+b\right)+b\left(a+b\right)}{c\left(c+d\right)+d\left(c+d\right)}=\frac{\left(a+b\right)\left(a+b\right)}{\left(c+d\right)\left(c+d\right)}\)

\(\frac{\left(a+b\right)\left(a+b\right)}{\left(c+d\right)\left(c+d\right)}=\frac{a.b}{c.d}\Rightarrow\frac{c\left(a+b\right)}{a\left(c+d\right)}=\frac{b\left(c+d\right)}{d\left(a+b\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{ca+cb}{ca+ad}=\frac{bc+bd}{ad+bd}=\frac{ca+bd}{ca-bd}=1\)

\(\Rightarrow ca+cb=ca+ad\)

\(\Rightarrow cb=ad\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\left(đpcm\right)\)

mai nhé giờ mình ngủ rồi

mai nhé

mai nhé

Ta có:

\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)

\(=\left(\sqrt{a}\right)^2+\sqrt{a}.\sqrt{b}+\sqrt{b}.\sqrt{a}+\left(\sqrt{b}\right)^2\)

\(=a+b+2\sqrt{a}.\sqrt{b}\)

\(=\left(\sqrt{a+b}\right)^2+2\sqrt{a}.\sqrt{b}\)

Vì \(\sqrt{a}\ge0,\sqrt{b}\ge0\) nên \(2\sqrt{a}.\sqrt{b}\ge0\) cho nên

\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2-\left(\sqrt{a+b}\right)^2=2\sqrt{a}.\sqrt{b}\ge0\).

Tức là \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\ge\left(\sqrt{a+b}\right)^2,\) suy ra \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{a+b}\)

Đẳng thức \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}\) xảy ra chỉ khi \(\sqrt{a}.\sqrt{b}=0\)

tức là khi \(\sqrt{a}=0\) hoặc \(\sqrt{b}=0\), hay là \(a=0\) hoặc \(b=0\).

Ta luôn luôn có đăng thức \(\left|4-x\right|=\left|x-4\right|\) bởi vậy

\(P=\frac{x-4}{\left|4-x\right|}=\frac{x-4}{\left|x-4\right|}\)

Biểu thức P xác định nếu \(x-4\ne0\). Vì rằng \(\left|x-4\right|>0\) nên \(P=-1< 0\) nếu \(x-4< 0\), tức là \(x< 4\). Khi đó

\(P=\frac{x-4}{\left|x-4\right|}=\frac{\left(x-4\right)}{-\left(x-4\right)}=-1\)

Giả sử \(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{a-b}\) thì \(\frac{b-a}{ab}=\frac{1}{a-b}\) suy ra \(\left(b-a\right)\left(a-b\right)=ab\). Vế trái có giá trị âm vì là tích của hai số đối nhau khác 0, vế phải có giá trị dương vì là tích của hai số dương. Vậy không tồn tại hai số dương a và b khác nhau mà \(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{a-b}\)

Chú ý: Ta cũng chứng minh được rằng không tồn tại hai số a và b khác 0, khác nhau mà \(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{a-b}\). Thật vậy, nếu \(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{a-b}\) thì \(\frac{b-a}{ab}=\frac{1}{a-b}\)\(\Rightarrow\left(b-a\right)\left(a-b\right)=ab\Rightarrow ab-b^2-a^2+ab=ab\Rightarrow a^2-ab+b^2=0\)

\(\Rightarrow a^2-\frac{ab}{2}-\frac{ab}{2}+\frac{b^2}{4}+\frac{3b^2}{4}=0\Rightarrow a\left(a-\frac{b}{2}\right)-\frac{b}{2}\left(a-\frac{b}{2}\right)+\frac{3b^2}{4}=0\)

\(\Rightarrow\left(a-\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}=0\Rightarrow b=0,a=0.\)

Nhưng giá trị này làm cho biểu thức không có nghĩa.

aa.ab= abb+ab

=> a.11.ab= 10.ab+b+ab

=11.ab+b

=> 11.ab.a-11.ab= b

=> 11.ab.[a-1]= b

Với a= 1 thì b= 0

Với a > 1 => b > 9 [loại]

Vậy a = 1 ; b= 0