Gọi 3 số được chia bởi số A là x; y; z ( x; y; z > 0 )

Vì tổng bình phương của 3 số đó là 24309 nên ta có : x² + y² + z² = 24309

Vì 3 số đó tỉ lệ lần lượt với \(\frac{2}{5};\frac{3}{4};\frac{1}{6}\) nên ta có : \(\frac{a}{\frac{2}{5}}=\frac{b}{\frac{3}{4}}=\frac{c}{\frac{1}{6}}\)

\(\Rightarrow\left(\frac{a}{\frac{2}{5}}\right)^2=\left(\frac{b}{\frac{3}{4}}\right)^2=\left(\frac{c}{\frac{1}{6}}\right)^2=\frac{a^2}{\frac{4}{25}}=\frac{b^2}{\frac{9}{16}}=\frac{c^2}{\frac{1}{36}}\) Áp dụng TC DTSBN ta có :

\(\frac{a^2}{\frac{4}{25}}=\frac{b^2}{\frac{9}{16}}=\frac{c^2}{\frac{1}{36}}=\frac{a^2+b^2+c^2}{\frac{4}{25}+\frac{9}{16}+\frac{1}{36}}=\frac{24309}{\frac{2701}{3600}}=32400\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{\frac{4}{25}}=32400\Rightarrow a^2=72^2\Rightarrow a=72\) (a > 0)

\(\Rightarrow\frac{b^2}{\frac{9}{16}}=32400\Rightarrow b^2=135^2\Rightarrow b=135\) (b > 0)

\(\Rightarrow\frac{c^2}{\frac{1}{36}}=32400\Rightarrow c^2=30^2\Rightarrow c=30\) (c > 0)

\(\Rightarrow A=72+135+30=237\)

Vậy A = 237

\(\frac{3x}{4}=\frac{y}{2}=\frac{3z}{5}=\frac{x}{\frac{4}{3}}=\frac{y}{\frac{2}{1}}=\frac{z}{\frac{5}{3}}\)

Áp dụng TC DTSBN ta có :

\(\frac{x}{\frac{4}{3}}=\frac{y}{\frac{2}{1}}=\frac{z}{\frac{5}{3}}=\frac{y-z}{\frac{2}{1}-\frac{5}{3}}=\frac{15}{\frac{1}{3}}=45\)

\(\Rightarrow\frac{x}{\frac{4}{3}}=45\Rightarrow x=45.\frac{4}{3}=60\)

\(\Rightarrow\frac{y}{\frac{2}{1}}=45\Rightarrow y=45.2=90\)

\(\Rightarrow\frac{z}{\frac{5}{3}}=45\Rightarrow z=45.\frac{5}{3}=75\)

\(\Rightarrow x+y+z=60+90+75=225\)

Đổi 40 phút = \(\frac{2}{3}\) ( giờ )

Gọi Quãng đường AB , thời gian đi từ A đến B của 2 ô tô đi từ A đến B lần lần lượt là S ; t₁ ; t₂

Vì ô tô thứ 2 đến B trước ô tô thứ nhất là 40 phút => t₁ - t₂ =\(\frac{2}{3}\) ( giờ )

Vì trên cùng một quãng đường ,thời gian và vận tốc là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có : t₁.45 = t₂.60 \(\Rightarrow\frac{t_1}{60}=\frac{t_2}{45}\) Áp dụng TC DTSBN ta có:

\(\frac{t_1}{60}=\frac{t_2}{45}=\frac{t_1-t_2}{60-45}=\frac{\frac{2}{3}}{15}=\frac{2}{45}\)

\(\Rightarrow\frac{t_1}{60}=\frac{2}{45}\Rightarrow t_1=\frac{60.2}{45}=\frac{8}{3}\) ( giờ )

=> S = \(\frac{8}{3}.45=120\) (Km)

Vậy quãng đường AB dài 120 (km)

Để \(B=\frac{1}{2\left(x-1\right)^2+3}\) đạt GTLN <=> \(2\left(x-1\right)^2+3\) đạt GTNN

Vì 2(x + 1)² ≥ 0 với mọi x ∈ R

=> 2(x + 1)² + 3 ≥ 3 đạt GTNN là 3

Dấu "=" xảy ra khi 2(x + 1)² = 0 <=> x = - 1

Vậy GTNN của B là \(\frac{1}{3}\) tại x = - 1

Áp dụng tính chất của bất đẳng thức |a| - |b| ≤ |a - b| ta được :

|x - 1| - |x - 3| ≤ |x - 1 - (x - 3)| = |x - 1 - x + 3| = |2| = 2

Dấu "=" xảy ra khi (x - 1)(x - 3) ≥ 0 => 1 ≤ x ≤ 3

Vậy |x - 1| - |x - 3| đạt GTLN là 2 tại 1 ≤ x ≤ 3

Ta có công thức :

1 + 2 + 3 + ... + n = \(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)

Áp dụng vào bài toán ta được :

\(1+\frac{1}{2}\left(1+2\right)+\frac{1}{3}\left(1+2+3\right)+...+\frac{1}{20}\left(1+2+3+...+20\right)\)

\(=1+\frac{1}{2}.\frac{2.3}{2}+\frac{1}{3}.\frac{3.4}{2}+...+\frac{1}{20}.\frac{20.21}{2}\)

\(=1+\frac{3}{2}+\frac{4}{2}+\frac{5}{2}+...+\frac{21}{2}\)

\(=\frac{2+3+4+...+21}{2}=\frac{\frac{21.22}{2}-1}{2}=115\)

Áp dụng TC DTSBN ta có :

\(\frac{a}{2b}=\frac{b}{2c}=\frac{c}{2d}=\frac{d}{2a}=\frac{a+b+c+d}{2b+2c+2d+2a}=\frac{a+b+c+d}{2\left(a+b+c+d\right)}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{2b}=\frac{1}{2}\Rightarrow a=\frac{1}{2}.2b\Rightarrow a=b\) (1)

\(\Rightarrow\frac{b}{2c}=\frac{1}{2}\Rightarrow b=\frac{1}{2}.2c\Rightarrow b=c\) (2)

\(\Rightarrow\frac{c}{2a}=\frac{1}{2}\Rightarrow c=\frac{1}{2}.2a\Rightarrow c=a\) (3)

\(\Rightarrow\frac{d}{2a}=\frac{1}{2}\Rightarrow d=\frac{1}{2}.2a\Rightarrow d=a\) (4)

Từ (1);(2);(3):(4) \(\Rightarrow a=b=c=d\) .Thay vào A ta được :

\(A=\frac{2011a-2010a}{a+a}+\frac{2011a+2010a}{a+a}+\frac{2011a-2010a}{a+a}+\frac{2011a-2010a}{a+a}\)

\(=\frac{a}{2a}+\frac{4021a}{2a}+\frac{a}{2a}+\frac{a}{2a}=\frac{a+4021a+a+a}{2a}=\frac{4024a}{2a}=\frac{4024}{2}=2012\)

Vậy \(A=2012\)

\(\Leftrightarrow3^{-m}=27.81=3^3.3^4=3^7\)

\(\Leftrightarrow-m=7\Rightarrow m=-7\)

Vậy \(m=-7\)

\(\frac{1+3y}{12}=\frac{1+6y}{16}=\frac{1+9y}{4x}\)

\(\Leftrightarrow12\left(1+6y\right)=16\left(1+3y\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(1+6y\right)=4\left(1+3y\right)\)

\(\Leftrightarrow3+18y=4+12y\)

\(\Leftrightarrow3-4=12y-18y\)

\(\Leftrightarrow-1=-6y\)

\(\Rightarrow y=\frac{1}{6}\)

\(\Rightarrow\frac{1+3y}{12}=\frac{1+3.\frac{1}{6}}{12}=\frac{1+9.\frac{1}{6}}{4x}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\frac{3}{2}}{12}=\frac{\frac{5}{2}}{4x}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{8}=\frac{\frac{5}{2}}{4x}\)

\(\Rightarrow4x=8.\frac{5}{2}=20\)

\(\Rightarrow x=20:4=5\)

Vậy \(x=5\)