\(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{n_{\alpha}}\right]=\left(1;-2;1\right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left(\beta\right)\)

Mặt phẳng \(\beta\) đi qua A có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left(1;-2;1\right)\) có phương trình \(x-2y+z-2=0\)

Cho x, y là các số thỏa mãn \(x^2+y^2+xy=3\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-3=xy\)

Vì \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-3\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)

                       \(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\le4\)

Từ  = 0, ta có  +  = 0    =>  = –

Điều này chứng tỏ hai vectơ có cùng độ dài  = , cùng phương và ngược hướng

a) Ta có, theo quy tắc ba điểm của phép trừ:

 =  –      (1)

Mặt khác,         =                 (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

 =  – .

b) Ta có :  =  –                  (1)

 =                              (2)

Từ (1) và (2) cho ta:

 =  – .

c) Ta có :

 –  =            (1)

 –  =             (2)

 =                         (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra đpcm.

d)  –   +  = (  – ) +  =  + =  +  ( vì  = ) = 

Ta xét tổng:

 +  + +  + +  =  =                      (1)

Mặt khác, ta có ABIJ, BCPQ và CARS là các hình bình hành nên:

  = 

 = 

 = 

=>  ++ =  +  + =  =                   (2)

Từ (1) và (2) suy ra :  +  + =  (dpcm)

Trên đoạn thẳng AB ta lấy điểm M’ để có = 

Như vậy  + =  +  =  ( quy tắc 3 điểm)

Vậy vec tơ  chính là vec tơ tổng của   và 

 =  +  .

Ta lại có  –  =  + (- )

  –    =  +  (vectơ đối)

Theo tính chất giao hoán của tổng vectơ ta có

 + =  +  =  (quy tắc 3 điểm)

Vậy  –  = 

Mình có cách khác :

Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép trừ vec tơ

=  – 

 =  – 

=>  + =  ( +) – ( +).

ABCD là hình bình hành nên  và  là hai vec tơ đối nhau, cho ta:

 + = 

Suy ra:   +  =  + .

\(\Leftrightarrow\frac{\cos^2x-4\sin^2x.\cos^2x}{4\cos^2x}=\frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{3}-\cos2x\right)\)

\(\Leftrightarrow1-4\sin^2x=2\left(\frac{1}{2}-\cos2x\right)\)

\(\Leftrightarrow1-4\sin^2x=1-2\cos2x\)

\(\Leftrightarrow2\sin^2x=\cos2x\)

\(\Leftrightarrow1-\cos2x=\cos2x\)

\(\Leftrightarrow\cos2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\pm\frac{\pi}{6}+k\pi,k\in Z\) thỏa mãn điều kiện

Ta có các điểm cực trị của (C) là A(0;4); B(2;0)

Gọi M (x;y) thuộc (P) : \(y=x^2\) khi đó \(\overrightarrow{MA}=\left(x;x^2-4\right);\overrightarrow{MB}=\left(x-2;\right)x^2\)

Tam giác AMB vuông tại M \(\Leftrightarrow\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0\Leftrightarrow x\left(x-2\right)+x^2\left(x^2-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x^3-3x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)^2\left(x-2\right)=0\)

Vậy có 3 điểm M thuộc (P) để tam giác AMB vuông tại M là \(M_1\left(0;0\right);M_2\left(-1;1\right);M_3\left(2;4\right)\)

x²+3x-3 là bội của của x-2

=>x²+3x-3 chia hết cho x-2

=>x²-2x+5x-3 chia hết cho x-2

=>x(x-2)+5x-3 chia hết cho x-2

=>5x-3 chia hết cho x-2

=>5x-10+7 chia hết cho x-2

=>5(x-2)+7 chia hết cho x-2

=>7 chia hết cho x-2

=>x-2 thuộc Ư(7)={-7;-1;1;7}

khi x-2=-7=>x=-5

khi x-2=-1=>x=1

khi x-2=1=>x=3

khi x-2=7=>x=9

Gọi B(x;y), ta có \(OA\perp OC\) nên OABC là hình chữ nhật =>\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OC}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x-2=0\\y-0=4\\z-0=0\end{cases}\) \(\Rightarrow B\left(2;4;0\right)\)

Ta có \(\overrightarrow{OB}=\left(2;4;0\right);\overrightarrow{OD}=\left(0;0;4\right);\overrightarrow{CB}=\left(2;0;0\right);\overrightarrow{CD}=\left(0;-4;4\right)\)

Do đó \(\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OD}=0\) và \(\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CD}=0\Rightarrow\widehat{BOD}=\widehat{BCD}=90^0\)

Suy ra mặt cầu đi qua 4 điểm O, B, C, D có tâm I là trung điểm của BD, bán kính R=OI

Ta có \(I\left(1;2;2\right);R=OI=\sqrt{1+2^2+2^2}=3\)

Do đó mặt cầu (S) có phương trình : \(\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-2\right)^2=9\)