Gọi cạnh hình vuông là a, thì hình chữ nhật có 2 cạnh là a - 7 và a + 4

Ta có: diện tích hình vuông - diện tích hình chữ nhật = 100

=> a.a - (a-7)(a+4) = 100

    a² - a² + 3a + 28 = 100

   3a = 72

   a = 72 : 3 = 24

Cạnh hình vuông là 24m

a) BC vuông góc với AO là theo tính chất hai tiếp tuyến đi qua 1 điểm A

b) Xét hai tam giác DCO và DBA có góc D chung và góc C = góc B = 90 độ (tính chất tiếp tuyến)

=> tam giác DCO đồng dạng với tam giác DBA

=>  DC/DB = DO/DA

=> DC.DA = DO.DB (đpcm)

c) Vì OM vuông góc với DB => OM // BA (cùng vuông góc với DB)

Ta có AM/DM + 1 = (AM + DM)/DM = DA/DM

Theo Viet ta có: DA/DM = AB/MO

=> AM/DM + 1 = AB/OM

=> AB/OM - AM/DM = 1    (*)

Ta lại có tam giác MOA cân (vì góc MOA = góc BAO do so le trong, góc MAO = góc BAO do tính chất hai tiếp tuyến cùng 1 điểm)

=> OM = AM

(*) trở thành: AB/AM - AM/DM = 1 (đpcm)

Hai tam giác AMC và DHE đồng dạng vì hai tam giac vuông và có góc A = góc D (hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)

Tam giác DHE đồng dạng với tam giác AME vì hai tam giác vuông có hai góc đối đỉnh 

=> Tam giác AMC và AME đồng dạng, mà có chung cạnh AM nên hai tam giác bằng nhau => CM = EM

Tương tự cũng chứng minh đc AM = MF

=> ACFE là hình bình hành (có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đương)

Mà hai đường chéo vuông góc với nhau => ACFE là hình thoi

\(1+x\sqrt{x^2+1}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}\)

\(1+x\sqrt{x^2+1}=\sqrt{x^2+1}+x\) (nhân tử và mẫu vế phải với biểu thức liên hợp của mẫu số)

\(\sqrt{x^2-1}\left(x-1\right)-\left(x-1\right)=0\)

\(\left(x-1\right)\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)=0\)

\(x=1\) hoặc \(\sqrt{x^2+1}=1\)

x=1 hoặc x =0

Số hạng tổng quát có dạng: (2k - 1)(2k + 1) = 4k² - 1

S = (4.1² - 1)  + (4.2² - 1) + ... + (4.21² - 1)

    = 4(1² + 2² + ... + 21² ) - 21

Áp dụng: 1² + 2² + ... + n² = n(n+1)(2n+1)/6

Đặt x = a + 1, y = b + 1, z = c + 1, ta có : x, y, z > 1 và x + y + z = 4

\(S=\frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z}=3-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

Áp dụng bất đẳng thứcCauchy-Swarchz:

\(\frac{1^2}{x}+\frac{1^2}{y}+\frac{1^2}{z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}=\frac{9}{4}\) Dấu = khi 1/x = 1/y= 1/z , hay là x = y = z = 4/3

Vậy S< 3 - 9/4 = 3/4

Ta có số tổ nhiều nhất là UWCLN(18,24) = 6

Khi đó mỗi tổ có 18 : 6 = 3 nam và 24:6 = 4 nữ

a) -25-3.12

=-25-36

=-61

b)= 18.(17+18-25)

=18.10

=180

a) OB < OA và A, B trên cùng 1 tia gốc O => B nằm giữa O và A => OB + BA = OA => BA = OA - OB= 7 - 3 = 4 cm

b) và c) Tương tự câu a), tính CA, BC như sau: 

OC < OA và A, C trên cùng 1 tia gốc O => C nằm giữa O và A => OC + CA = OA => CA = OA - OC= 7 - 5 = 2 cm

OB < OC và B, C trên cùng 1 tia gốc O => B nằm giữa O và C => OB + BC = OC => BC = OC - OB= 5 - 3 = 2 cm

Vì BA = 4; CA = 2; BC = 2 => CA + CB = 2 + 2 = 4 = BA => C là điểm nằm giữa A và B, đồng thời C là trung điểm của AB (vì CB = CA)

a) Cả hai phương trình đều có chung \(\sqrt{x+3}\)

pt đầu suy ra  \(\sqrt{x+3}=2\sqrt{y-1}\)

pt sau suy ra \(\sqrt{x+3}=4-\sqrt{y+1}\)

Vậy \(2\sqrt{y-1}=4-\sqrt{y+1}\), đk y > 1

\(4\left(y-1\right)=16-8\sqrt{y+1}+y+1\)

\(8\sqrt{y+1}+3y-21=0\)

Đặt \(\sqrt{y+1}=t\)

=> y = t² - 1

=> 8t + 3(t² -1) -21 =0

3t² + 8t - 24 = 0

=> t = ...

=> y = t² - 1

=> \(\sqrt{x+3}=2\sqrt{y-1}\)

=> x =...

b) Trừ hai pt cho nhau ta có:

x² - y² = 3(y - x)

(x - y) (x + y + 3) = 0

=> x = y hoặc x + y + 3 = 0

Xét hai trường hợp, rút x theo y rồi thay trở lại một trong hai pt ban đầu tìm ra nghiệm