a)

Ta có: E, F là trung điểm BC,AD(gt)

\(\rightarrow\) EF//AB//CD và EF=AB=CD(1)

mà BC=AD (ABCD là hbh)

\(\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}AD\rightarrow AF=BE\)

lại có BC=2AB\(\rightarrow AF=BE=AB\) (2)

Từ (1)(2) \(\rightarrow AB=BE=EF=AF\) \(\rightarrow\) ABEF là hình thoi

\(\rightarrow AE\perp BF\) (T/c đường chéo hình thoi) (đpcm)

b) Ta có:

EF//CD và EF=CD (theo a)

\(\rightarrow\) ECDF là hbh

mà EF = AB;EC=AB=\(\dfrac{1}{2}BC\)

\(\rightarrow EF=EC\rightarrow\) ECDF là hình thoi

c) Xét hbh ABCD có:

\(\widehat{A}=60^o\rightarrow\widehat{D}=120^o\)

Xét hình thoi ECDF có:

ED là đường chéo

\(\widehat{FDE}=\dfrac{1}{2}\widehat{D}=\dfrac{1}{2}\cdot120^o=60^o\)

\(\rightarrow\widehat{A}=\widehat{FDE}\)

Xét tứ giác ABED có:

BE//AD

\(\widehat{A}=\widehat{FDE}\)

\(\rightarrow ABED\) là hình thang cân

d) Ta có: B là trung điểm AM

\(\rightarrow\) BM//CD và BM=CD

\(\rightarrow\) BMCD là hbh(3)

Xét tứ giác BFDE có:

BE//DF và BE=DF \(\rightarrow\) BFDE là hbh

mà BE=ED(=AB) \(\rightarrow\) BFDE là hình thoi

\(\rightarrow BD\perp EF\)

Xét \(\Delta FDE\) có:

FD=ED(=CD)

\(\widehat{FDE}=60^o\)

\(\rightarrow\Delta FDE\) đều

mà \(BD\perp EF\rightarrow\widehat{BFE}=30^o\)

\(\rightarrow\widehat{BDC}=\widehat{BDE}+\widehat{EDC}=30^o+60^o=90^o\) (4)

Từ (3)(4) \(\rightarrow\) BMCD là hcn (đpcm)

e) Xét hcn BMCD có:

E là trung điểm BC

mà BC là đường chéo

\(\rightarrow\) E là trung điểm MD

\(\rightarrow\) M,E,D thẳng hàng (đpcm)

\(C=\sqrt{9-4\sqrt{5}}\)

\(C=\sqrt{5-2\cdot2\cdot\sqrt{5}+4}\)

\(C=\sqrt{\left(\sqrt{5}-2\right)^2}\)

\(C=\left|\sqrt{5}-2\right|=\sqrt{5}-2\)

a) \(A=\left(\dfrac{1-x^3}{1-x}-x\right):\dfrac{1-x^2}{1-x-x^2+x^3}\)

\(A=\left(\dfrac{\left(1-x\right)\left(1+x+x^2\right)}{1-x}-x\right):\dfrac{1-x^2}{\left(1-x\right)\left(1-x^2\right)}\)

\(A=\left(x^2+1\right)\cdot\left(1-x\right)\)

b)

Thay x = \(-1\dfrac{2}{3}=-\dfrac{5}{3}\) vào A có:

\(A=\left(\left(-\dfrac{5}{3}\right)^2+1\right)\cdot\left(1-\left(-\dfrac{5}{3}\right)\right)=\dfrac{272}{27}\)

c)

\(A< 0\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left(1-x\right)< 0\)

mà \(x^2+1>0\forall x\in R\) \(\Rightarrow1-x< 0\Leftrightarrow x>1\)

\(\dfrac{x^2+1}{x+1}+\dfrac{x^2+2}{x-2}=-2\) (ĐK: \(x\ne-1;x\ne2\))

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x^2+1\right)\left(x-2\right)+\left(x^2+2\right)\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}=-2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^3-2x^2+x-2+x^3+x^2+2x+2}{x^2-x-2}=-2\)

\(\Leftrightarrow2x^3-x^2+3x=-2x^2+2x+4\)

\(\Leftrightarrow2x^3+x^2+x-4=0\)

Bấm máy tính, ta có: x = 1 TMĐK

Vậy \(S=\left\{1\right\}\)

a)

Áp dụng ĐL cosin cho \(\Delta ABC\) có:

\(BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cdot cos120^o\)

\(BC=\sqrt{3^2+4^2-2\cdot3\cdot4\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)}=\sqrt{37}\)

b)

Áp dụng hệ quả ĐL cosin cho \(\Delta ABC\) có:

\(cosB=\dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\)

\(cosB=\dfrac{3^2+\sqrt{37}^2-4^2}{2\cdot3\cdot\sqrt{37}}=\dfrac{5\sqrt{37}}{37}\)

\(\Rightarrow\widehat{B}\approx35^o\)

\(\Rightarrow\widehat{C}=180^o-120^o-35^o=25^o\)

c)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB\cdot AC\cdot sin120^o=\dfrac{1}{2}\cdot3\cdot4\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\) 

1.B  2.D  3.B  4.C  5.D

1.B  2.B  3.B  4.A  5.B

1.B  2.A  3.C  4.B

Nobody knows how to prevent a cold

How lovely the puppet is!