\(x(3x-4)=2x^2+5\\\leftrightarrow 3x^2-4x-2x_2-5=0\\\leftrightarrow x^2-4x-5=0\)

Theo Viét

\(\begin{cases}x_1+x_2=4\\x_1x_2=-5\end{cases}\)

\(A=2(x_1-x_2)^2+3x_1x_2\\=2(x_1^2-2x_1x_2+x_2^2)+3x_1x_2\\=2[(x_1+x_2)^2-4x_1x_2]+3x_1x_2\\=2.[4^2-4.(-5)]+3.(-5)\\=2.36-15\\=57\)

Vậy \(A=62\)

Pt có 2 nghiệm

\(\to \Delta=[-2(m-1)]^2-4.1.(m+1)=4m^2-8m+4-4m-4=4m^2-12m\ge 0\)

\(\leftrightarrow m^2-3m\ge 0\)

\(\leftrightarrow m(m-3)\ge 0\)

\(\leftrightarrow \begin{cases}m\ge 0\\m-3\ge 0\end{cases}\quad or\quad \begin{cases}m\le 0\\m-3\le 0\end{cases}\)

\(\leftrightarrow m\ge 3\quad or\quad m\le 0\)

Theo Viét

\(\begin{cases}x_1+x_2=2(m-1)\\x_1x_2=m+1\end{cases}\)

\(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=4\)

\(\leftrightarrow \dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=4\)

\(\leftrightarrow \dfrac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=4\)

\(\leftrightarrow \dfrac{[2(m-1)]^2-2.(m+1)}{m+1}=4\)

\(\leftrightarrow 4m^2-8m+4-2m-2=4(m+1)\)

\(\leftrightarrow 4m^2-10m+2-4m-4=0\)

\(\leftrightarrow 4m^2-14m-2=0\)

\(\leftrightarrow 2m^2-7m-1=0 (*)\)

\(\Delta_{*}=(-7)^2-4.2.(-1)=49+8=57>0\)

\(\to\) Pt (*) có 2 nghiệm phân biệt

\(m_1=\dfrac{7+\sqrt{57}}{2}(TM)\)

\(m_2=\dfrac{7-\sqrt{57}}{2}(TM)\)

Vậy \(m=\dfrac{7\pm \sqrt{57}}{2}\) thỏa mãn hệ thức

Gọi quãng đường AB là x (km, x>0)

Người đó đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15km/h

\(\to\) Thời gian lúc đi của người đó là \(\dfrac{x}{15}\) (h)

Người đó đi xe đạp từ B về A với vận tốc 12km/h

\(\to\) Thời gian lúc về của người đó là \(\dfrac{x}{12}\) (h)

Vì thời gian về nhiểu hơn thời gian đi là 30 phút

\(\to\) Ta có pt: \(\dfrac{x}{12}-\dfrac{x}{15}=\dfrac{30}{60}\)

\(\to 5x-4x=30\)

\(\to x=30\) (TM)

Vậy quãng đường AB là 30km

a/ Xét \(\Delta HAB\) và \(\Delta BAC\):

\(\widehat{A}:chung\)

\(\widehat{BHA}=\widehat{CBA}(=90^\circ)\)

\(\to\Delta BHA\backsim\Delta BAC(g-g)\)

b/ Áp dụng định lý Pytago vào \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)

\(\to AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=4\) (cm)

\(BH.AC=BA.BC\)

\(\to BH=\dfrac{BA.BC}{AC}=\dfrac{3.4}{4}=3\) (cm)

\(\Delta HAB\backsim \Delta BAC\)

\(\to\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AB}{BC}\)

\(\to AH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{3^2}{4}=\dfrac{9}{4}\) (cm)

a/ Xét \(\Delta HBA\) và \(\Delta ABC\):

\(\widehat{B}\) chung

\(\widehat{BHA}=\widehat{BAC}(=90^\circ)\)

\(\to\Delta HBA\backsim \Delta ABC(g-g)\)

b/ \(\Delta HBA\backsim\Delta ABC\)

\(\to \dfrac{AB}{BH}=\dfrac{BC}{AB}\)

\(\to AB^2=BC.BH\)

c/ \(BD\) là đường phân giác \(\widehat{B}\)

\(\to\dfrac{DC}{AD}=\dfrac{BC}{AB}\)

\(BI\) là đường phân giác \(\widehat{B}\)

\(\to\dfrac{IA}{IH}=\dfrac{BA}{BH}\)

mà \(\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{BA}{BH}\)

\(\to\dfrac{DC}{AD}=\dfrac{IA}{IH}\)

\(\to AD.AI=IH.CD\)

Gọi thời gian để đội xe chở hết số hàng theo kế hoạch là x (x>0, ngày)

Số sản phẩm theo kế hoạch đội phải chở là \(140x\) (tấn)

Số sản phẩm đội chở được theo thực tế là \(140x+10\) (tấn)

Thời gian thực tế là đội làm là \(x-1\) (ngày)

Mỗi ngày thực tế đội chở được số tấn hàng là \(\dfrac{140x+10}{x-1}\) (tấn/ngày)

Vì thực tế mỗi ngày đội chở vượt mức 5 tấn so với dự định

\(\to\) Ta có pt: \(\dfrac{140x+10}{x-1}-140=5\)

\(\leftrightarrow \dfrac{140x+10}{x-1}=145\)

\(\leftrightarrow 140x+10=145(x-1)\)

\(\leftrightarrow 140x+10=145x-145\)

\(\leftrightarrow 140x-145x=-145-10\)

\(\leftrightarrow -5x=-155\)

\(\leftrightarrow x=31\) (TM)

Vậy thời gian đội chở số hàng theo dự định là 31 ngày

Sửa: \(\dfrac{\dfrac{x}{2}}{35}+\dfrac{1}{4}\)

Gọi quãng đường AB là x (km, x>0)

Xe dự định đi từ A đến B với vận tốc 35km/h

\(\to\) Thời gian dự định xe đi là \(\dfrac{x}{35}\) (h)

Vì nửa đường thứ nhất vận tốc không thay đổi nhưng phải dừng lại 15p

\(\to\) Thời gian xe đi hết nửa quãng đường thứ nhất là \(\dfrac{\dfrac{x}{2}}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{x}{70}+\dfrac{1}{4}\) (h)

Nửa quãng đường thứ hai xe tăng vận tốc thêm 5km/h để đến B đúng như dự định

\(\to\) Thời gian đi nửa quãng đường thứ hai là \(\dfrac{\dfrac{x}{2}}{35+5}=\dfrac{x}{80}\) (h)

Vì xe đến B đúng như thời gian dự định

\(\to\) Ta có pt: \(\dfrac{x}{70}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{x}{80}=\dfrac{x}{35}\)

\(\leftrightarrow 8x+140+7x=16x\)

\(\leftrightarrow 15x-16x=-140\)

\(\leftrightarrow -x=-140\)

\(\leftrightarrow x=140\) (TM)

Vậy quãng đường AB là 140km

Pt có 2 nghiệm

\(\to \Delta=(-5)^2-4.1.m=25-4m\ge 0\\\leftrightarrow 4m\le 25\\\leftrightarrow m\le\dfrac{25}{4}\)

Theo Viét

\(\begin{cases}x_1+x_2=5\\x_1x_2=m\end{cases}\)

\(|x_1-x_2|=3\\\leftrightarrow \sqrt{(x_1-x_2)^2}=3\\\leftrightarrow \sqrt{x_1^2+x_2^2-2x_1x_2}=3\\\leftrightarrow \sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=3\\\leftrightarrow \sqrt{5^2-4m}=3\\\leftrightarrow 25-4m=9\\\leftrightarrow 4m=16\\\leftrightarrow m=4(TM)\)

Vậy \(m=4\) thỏa mãn hệ thức

Pt có 2 nghiệm

\(\to \Delta=(-2m)^2-4.1.(m^2-m+3)=4m^2-4m^2+4m-12=4m-12\ge 0\\\leftrightarrow 4m\ge 12\\\leftrightarrow m\ge 3\)

Theo Viét

\(\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m^2-m+3\end{cases}\)

\( (2x_2-1)x_1+(2x_1-1)x_2\\=2x_1x_2-x_1+2x_1x_2-x_2\\=4x_1x_2-(x_1+x_2)\\=4.(m^2-m+3)-2m\\=4m^2-4m+12-2m\\=4m^2-6m+12\\=4\bigg(m^2-\dfrac{6}{4}m+3\bigg)\\=4\bigg(m^2-2.\dfrac{3}{2}.m+\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}\bigg)\\=4\bigg(m-\dfrac{3}{2}\bigg)^2+3\ge 3\\\to\A_{\min}=3\\\to m-\dfrac{3}{2}=0\\\leftrightarrow m=\dfrac{3}{2}\)

Vậy \(A_{\min}=3\)