Tìm GTLN:

Xét hiệu $2.(x^2+y^2)-(x+y)^2=2.(x^2+y^2)-x^2-y^2-2xy=x^2-2xy+y^2=(x-y)^2 \geq 0$

Nên $(x+y)^2 \leq 2.(x^2+y^2)=2$ (do $x^2+y^2=1$)

Dấu $=$ xảy ra $⇔(x-y)^2=0;x^2+y^2=1⇔x=y;x^2+y^2=1⇔x=y=\dfrac{1}{\sqrt[]2}$

Tìm Min:

Có $(x+y)^2 \geq 0$ với mọi $x;y$

Dấu $=$ xảy ra $⇔(x+y)^2=0;x^2+y^2=0⇔x=-y;x^2+y^2=1⇔x=\dfrac{1}{\sqrt[]2};y=-\dfrac{1}{\sqrt[]2}$ và hoán vị

Ta có: $1+2+3+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

Nên $1+2+3+...+n>0⇔\dfrac{n(n+1)}{2}>100$

$⇔n(n+1)>200$

với $n=1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13$ khi thay vào ta thấy $n(n+1)<200$

nên loại 

với $n=14⇒n(n+1)=14.15=210>200$ chọn

Vậy số tự nhiên n nhỏ nhất là 14 thỏa mãn đề

Ta có:

$\dfrac{1}{ab+a+1}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{1}{abc+bc+b}$

$=\dfrac{abc}{ab+a+abc}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{1}{1+bc+b}$ (do $abc=1$)

$=\dfrac{abc}{a(bc+b+1)}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{1}{1+bc+b}$

$=\dfrac{bc}{bc+b+1}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{1}{1+bc+b}$

$=\dfrac{bc+b+1}{bc+b+1}=1$

(đpcm)

Ta có: $(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b)(a+c)(b+c)$

$=(a^2+ab+ac+bc)(b+c)$

$=[a(a+b+c)+bc].(b+c)$

$=a.(b+c)(a+b+c)+bc.(b+c)$

$=(a+b+c)(ab+ac)+bc(b+c)+abc-abc$

$=(a+b+c)(ab+ac)+bc.(a+b+c)-abc$

$=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$

Mà $ab+bc+ca=0$

$⇒(a+b)(a+c)(b+c)=(a+b+c).0-abc=-abc$

Suy ra $E=\dfrac{(a+b)(a+c)(b+c)}{abc}=\dfrac{-abc}{abc}=-1$ (do $abc \neq 0$)

Vậy $E=-1$ với $a;b;c$ thỏa mãn đề

Gọi năng suất của tổ theo quy định là $x(x>0; \text{sản phẩm/h}$

Thời gian để làm 120 sản phẩm theo quy định là $\dfrac{120}{x}(h)$ 

Trong 2h làm theo năng suất quy định thì tổ đã làm được $2x \text{sản phẩm}$

Khi tổ tăng năng suất lao động theo 10 sản phẩm/h thì tổ cần thời gian là: $\dfrac{120-2x}{x+10}(h)$

Do tổ hoàn thành công việc sớm hơn dự định là $12$ phút tức $\dfrac{1}{5}$ (h) nên ta có phương trình sau:
$\dfrac{120}{x}-\dfrac{1}{5}=2+\dfrac{120-2x}{x+10}$

$⇔\dfrac{600-x}{5x}=\dfrac{120-2x+2x+20}{x+10}$

$⇔\dfrac{600-x}{5x}=\dfrac{140}{x+10}$

$⇔(600-x)(x+10)=140.5x$

$⇔600x-x^2-10x+6000=700x$

$⇔x^2-110x-6000=0$

$⇔(x-150(x+40)=0$

⇔\(\left[{}\begin{matrix}x=150\\x=-40\end{matrix}\right.\)

$⇒x=150$ (do $x>0$

Vậy năng suất của tổ là 150 sản phẩm/h

$⇔x^2-2x+1+x-x^2+3=0$

$⇔-x=-4$

$⇔x=4$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S={4}

Nếu đã biến đổi tương đương rồi thì cần gì phải dùng tính chất của bất đẳng thức nữa bạn, bằng không ta dùng bất đẳng thức để chứng minh luôn
VD: chứng minh $a;b;c>0$ thì $a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$

C1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy có:
$a^2+b^2 \geq 2ab;b^2+c^2 \geq 2bc;c^2+a^2 \geq 2ac$

suy ra $2(a^2+b^2+c^2) \geq 2(ab+bc+ca)$

và ta có đpcm
C2 Biến đổi tương đương
BĐT $⇔2.(a^2+b^2+c^2) \geq 2.(ab+bc+ca)$

$⇔(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2) \geq 0$

$⇔(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geq 0$ (luôn đúng)
Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh
Tóm lại là dùng cũng không sao, miễn đúng là được, nhưng mình khuyên rằng nên làm theo 1 hương thôi.

Đoán cuối mình bấm thiếu dấu bạn ơi 
C=3.x^2019/3^2019.x^2019=1/3^2018 bạn nhé

$⇔x^3+y^3+z^3-3xyz=0$

$⇔(x+y)^3-3xy(x+y)-3xyz+z^3=0$

 $⇔(x+y+z)((x+y)^2-(x+y)z+z^2)-3xy(x+y+z)=0$

$⇔(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=0$

$⇔x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0$

$⇔(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0$

Mà $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2≥0∀x;y;z$

suy ra $\begin{cases}(x-y)^2=0\\(y-z)^2=0\\(z-x)^2=0\end{cases}$

$⇔\begin{cases}(x-y)=0\\(y-z)=0\\(z-x)=0\end{cases}$

$⇔x=y=z$

Nên $C=\dfrac{3.x^{2019}}{(9.x^{2019}}=\dfrac{1}{3}$

Vậy...