Cho khai triển

\(\left(1+2x\right)^{2023}=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^2\).Tính tổng các hệ số trong khai triển ?

Chứng minh:\(27^{2021}+34^{2022}+1\) ko phải là số chính phương

Trong một giải thi đấu cờ có n kì thủ tham gia( n>2) gồm các kiện tướng và các vận đông viên cấp 1. Điều lệ quy định của giải, mỗi kì thủ phải gặp từng kì thủ khác đúng 1 lần và tính điểm thắng 1 điểm, hòa 0.5 điểm, thua 0 điểm. Sau giải thi đấu, người ta thấy mỗi kì thủ đều thắng được 1/2 số điểm từ các trận đấu với các kiện tướng ( nửa còn lại từ các vận động viên cấp 1). Chứng minh rằng n là số chính phương( số nguyên dương viết được dưới dạng bình phương của 1 số nguyên)

Rút gọn

\(P=\dfrac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}+\dfrac{\sqrt{x}+1}{1-x}\)

Cho \(n\) số \(a_1,a_2,...,a_n\in\left[0;1\right]\)

CMR:\(\left(1+a_1+a_2+a_3+...+a_n\right)^2\ge4\left(a^2_1+a^2_2+a^2_3+...+a^2_n\right)\)