Với b≤5=>2^a+7=|b−5|+b−5=5-b+b-5=0=>2^a=-7 vô lý
=>b>5=> 2^a+7=|b−5|+b−5=b-5+b-5=2b-10
          =>2^a=2b-17 là số lẻ => 2^alẻ => a= 0 
          =>2⁰=1=2b-17=>2b=18=>b=9
Vậy cặp số tự nhiên (a,b) cần tìm là (1;9)

mình nhầm: nhân 2 vế với a²b²

ta có tính chất tổng các chữ số của 1 số luôn đồng dư với chính nó theo module 3 => 11111...1(n số 1) đồng dư với n => 2n+11111...1(n số 1) đồng dư với 3n đồng dư với 0 theo module 3 => đpcm

Xét b²+c²-a²=(b+c)²-a²-2bc=(a+b+c)(b+c-a)-2bc=-2bc
cmtt=>P=\(\dfrac{1}{-2bc}\)+\(\dfrac{1}{-2ab}\)+\(\dfrac{1}{-2ac}\)=\(\dfrac{a+b+c}{-2abc}\)=0

Nếu a và b khác dấu thì bđt hiển nhiên đúng vì 1 vế ≥0 và 1 vế ≤0
Nếu a và b cùng dấu => \(\dfrac{a^2}{b^2}\)+\(\dfrac{b^2}{a^2}\)<=>a⁴+b⁴≥ab³+a³b(nhân 2 vế với số dương ab)<=> a⁴+b⁴≥ab(a²+b²) (*) 
ta có (x-y)²≥0 <=> x²+y²≥2xy <=> 2(x²+y²)≥ x²+2xy+y²=(x+y)²
áp dụng bđt trên
 => 2(a⁴+b⁴):2≥\(\dfrac{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+b^2\right)}{2}\)≥\(\dfrac{2ab\left(a^2+b^2\right)}{2}\)(bđt cô si)<=>a⁴+b⁴≥ab³+a³b(đpcm)
 

là 6

20!=1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12x13x14x15x16x17x18x19x20
20!=(2x5)x(4x15)x10x20x... tạo ra 4 số 0 ở cuối

TH1: ab⋮p=>đpcm 
TH2:Nếu (ab,p)=1
Áp dựng định lý fermat nhỏ: =>a^p-1≡ 1(mod p) và tưng tự với b
=>ab^p-ba^p=ab(a^p-1-b^p-1)≡ab(1-1)≡0(mod p) 
Vậy ta có đpcm

tử vế phải là 3 hay 2 vậy bạn.

Vì 12p ⋮ 3 nên x²-3xy+p²y² ⋮ 3 mà -3xy ⋮ 3 nên x²+p²y² ⋮ 3 kết hợp với tính chất 1 số chính phương chỉ chia 3 dư 0 hoặc 1 nên nếu tổng 2 chính phương ⋮ 3 thì cả 2 số⋮ 3. Từ đó x² và p²y² mà đây là 2 bình phương và 3 là số nguyên tố nên x² và p²y² ⋮ 9. Vì x²⋮ 9 nên x ⋮ 3 từ đó 3xy ⋮cho 9. Qua đó x²-3xy+p²y² ⋮ 9. Ta có 12p= 4.3p mà (4,9)=1 nên 3p ⋮ 9 từ đó p ⋮ 3 mà p là số nguyên tố nên p = 3. 
=> x²-3xy+p²y² =12p <=> x²-3xy+9y² =36 áp dụng bất đẳng thức Cô si x²+y² ≥ 2xy với mọi x,y => x²+9y²≥2.x.3y=6xy => 36≥6xy-3xy=3xy =>12≥xy mà x,y là số nguyên dương nên x.y ≥1 nên 12≥xy≥x.1=x
Ta có x²+(-3xy)+9y² chẵn mà đây là tổng 3 số nguyên nên tồn tại 1 số chẵn
nếu x chẵn =>  x²+(-3xy) chẵn => 9y² chẵn mà (9,2)=1 nên y chẵn ta cmtt với y. Từ đó suy ra cả x và y đều chẵn, kết hợp với 12≥x,x⋮3 và x nguyên dương => x∈{6,12} thay x vào x²-3xy+9y² =36 ta tìm được các cặp (x,y) là (6,0);(6,2);(12,6) 
Vậy các cặp (x,y,p) cần tìm là (6,0,3);(6,2,3);(12,6,3)