\(\dfrac{67^3+52^3}{119}+67.52\)

Đặt a = 67 ; b = 52 \(\Rightarrow a+b=119\)  . Khi đó ; ta có : 

\(\dfrac{a^3+b^3}{a+b}+ab\) \(=a^2-ab+b^2+ab=a^2+b^2\) 

\(=67^2+52^2=7193\)

0,75 . \(\dfrac{11}{13}-\dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{13}+\dfrac{9}{25}\)

\(=\dfrac{33}{52}-\dfrac{39}{52}-\dfrac{8}{52}+\dfrac{9}{25}\)

\(=-\dfrac{7}{26}+\dfrac{9}{25}\)

\(=\dfrac{-175}{650}+\dfrac{234}{650}=\dfrac{59}{650}\)

\(x^2+10y^2-6xy-16y+26\)

\(=\left(x^2-6xy+9y^2\right)+y^2-16y+64-38\)

\(=\left(x-3y\right)^2+\left(y-8\right)^2-38\ge-38\forall x;y\)

" = " \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3y\\y=8\end{matrix}\right.\)  \(\Leftrightarrow x=24;y=8\)

Vậy ... 

ĐKXĐ : \(\dfrac{x}{y};\dfrac{y}{x}>0\)

Đặt \(t=\sqrt{\dfrac{x}{y}}+\sqrt{\dfrac{y}{x}}\)  \(\ge2\)  ( Cauchy ) 

Ta có : \(A=t^2-3t+2+2017=\left(t-2\right)\left(t-1\right)+2017\)  \(\ge2017\)

" = " \(\Leftrightarrow x=y\)

b) \(\sqrt{11-6\sqrt{2}}+3\sqrt{2}-3\)

\(=\sqrt{3^2-2.3.\sqrt{2}+2}+3\sqrt{2}-3\)

\(=\sqrt{\left(3-\sqrt{2}\right)^2}+3\sqrt{2}-3\)

\(=3-\sqrt{2}+3\sqrt{2}-3=2\sqrt{2}\)

Tại x = 2022 suy ra : 2023 = x + 1

Khi đó ta có : \(P\left(2022\right)\)  \(=x^{x+1}-\left(x+1\right)x^x+\left(x+1\right)x^{x-1}-\left(x+1\right)x^{x-2}+...+\left(x+1\right)x-\left(x+1\right)\)

\(=x^{x+1}-x^{x+1}-x^x+x^x+x^{x-1}-x^{x-1}-x^{x-2}+...+x^2+x-x-1\)

\(=-1\)

Vậy ... 

* CTTQ của este no đơn chức ; mạch hở : \(C_nH_{2n}O_2\left(n\ge1\right)\)

* CT tính số đồng phân của este no ; đơn chức ; mạch hở :

Số este = \(2^{n-2}\left(2\le n< 5\right)\)

=> AD tính số đồng phân este của \(C_2H_4O_2\) : 1 ; \(C_3H_6O_2:2\)  ; \(C_4H_8O_2:4\)

* CT tính số đồng phân đơn chức của hợp chất dạng : \(C_nH_{2n}O_2\) ( axit + Este ) 

Số axit + Số este = \(2^{n-3}+2^{n-2}\left(3\le n< 5\right)\)

=> Áp dụng tính số đồng phân đơn chức của : \(C_2H_4O_2=2\)  

\(C_3H_6O_2:3\)  ; \(C_4H_8O_2:6\)

\(\Delta ABC\) nhọn nên kẻ BH \(\perp AC\) tại H \(\Rightarrow\) \(\Delta AHB\)  \(\perp\) tại H 

Khi đó : \(sinA=\dfrac{BH}{AB};cosA=\dfrac{AH}{AB}\)

Suy ra : \(sinA+cosA=\dfrac{BH+AH}{AB}\)

Hiển nhiên : \(2AB>BH+AH>AB\)  ( do AB là cạnh huyền )

Suy ra : \(2>sinA+cosA>1\)  ( đpcm ) 

Với x = a + b + c ; ta có : 

\(\left(x+a\right)\left(x+b\right)+\left(x+b\right)\left(x+c\right)+\left(x+c\right)\left(x+a\right)\)

\(=x^2+\left(a+b\right)x+x^2+\left(b+c\right)x+x^2+\left(c+a\right)x+\left(ab+bc+ac\right)\)

\(=3x^2+2x\left(a+b+c\right)+\left(ab+bc+ac\right)\)

\(=3\left(a+b+c\right)^2+2\left(a+b+c\right)^2+ab+bc+ac\)

\(=5\left(a+b+c\right)^2+ab+bc+ac\left(đpcm\right)\)