\(x^2+ax+1=0\left(1\right)\)

\(\Delta=a^2-4\)

\(x^2+bx+1=0\left(2\right)\)

\(\Delta=b^2-4\)

\(x^2+cx+1=0\left(3\right)\)

\(\Delta=c^2-4\)

Giả sử \(a,b,c< 2\). Khi đó \(a+b+c< 6\) (trái với giả thiết).

Do đó trong 3 số a,b,c phải có một số lớn hơn hoặc bằng 2. Không mất tính tổng quát giả sử \(a\ge2\).

Khi đó \(\Delta\left(1\right)=a^2-4\ge2^2-4=0\) \(\Rightarrow\)Phương trình (1) có nghiệm.

Vậy ta có đpcm.

\(P=\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}}\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{17}}.\sqrt{\left(a^2+\dfrac{1}{b^2}\right)\left(1+16\right)}+\dfrac{1}{\sqrt{17}}.\sqrt{\left(b^2+\dfrac{1}{c^2}\right)\left(1+16\right)}+\dfrac{1}{\sqrt{17}}.\sqrt{\left(c^2+\dfrac{1}{a^2}\right)\left(1+16\right)}\)

\(\ge^{Bunhiacopxki}\dfrac{1}{\sqrt{17}}.\left[\left(a+\dfrac{4}{b}\right)+\left(b+\dfrac{4}{c}\right)+\left(c+\dfrac{4}{a}\right)\right]\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left[\left(a+b+c\right)+4\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\right]\)

\(\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left[\left(a+b+c\right)+4.\dfrac{9}{a+b+c}\right]\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left[\left(a+b+c\right)+\dfrac{9}{4\left(a+b+c\right)}+\dfrac{135}{4\left(a+b+c\right)}\right]\)

\(\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}.\left[2.\sqrt{\left(a+b+c\right).\left(\dfrac{1}{4}.\dfrac{9}{a+b+c}\right)}+\dfrac{135}{4.\dfrac{3}{2}}\right]\)

\(=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(MinP=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\)

\(P=\dfrac{a}{a+2b+3c}+\dfrac{b}{b+2c+3a}+\dfrac{c}{c+2a+3b}\)

\(=\dfrac{a^2}{a^2+2ab+3ca}+\dfrac{b^2}{b^2+2bc+3ab}+\dfrac{c^2}{c^2+2ca+3bc}\)

\(\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+5\left(ab+bc+ca\right)}\) (BĐT Bunhiacopxki dạng phân thức)

\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+3\left(ab+bc+ca\right)}\)

\(\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}\) (vì \(3\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2\) )

\(=\dfrac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Vậy \(MinP=\dfrac{1}{2}\)

Ta dựa trên công thức nghiệm nhé bạn:

\(x=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\) . Ta thấy \(b,a\) là số nguyên nên \(\sqrt{\Delta}\) phải là số nguyên, hay \(\Delta\) là 1 số chính phương.

Lưu ý: đây chỉ là điều kiện cần để pt có nghiệm nguyên, chứ chưa phải là điều kiện đủ.

\(3x^2+y^2+4xy=5x+2y+1\)

\(\Leftrightarrow3x^2+x\left(4y-5\right)+\left(y^2-2y-1\right)=0\left(1\right)\)

Coi phương trình (1) là phương trình ẩn x tham số y, ta có:

\(\Delta=\left(4y-5\right)^2-3.4.\left(y^2-2y-1\right)\)

\(=16y^2-40y+25-12y^2+24y+12\)

\(=4y^2-16y+37\)

Để phương trình (1) có nghiệm nguyên thì \(\Delta\) phải là số chính phương hay \(\Delta=4y^2-16y+37=a^2\) (a là số tự nhiên).

\(\Rightarrow4y^2-16y+16+21=a^2\)

\(\Rightarrow a^2-\left(2y-4\right)^2=21\)

\(\Rightarrow\left(a-2y+4\right)\left(a+2y-4\right)=21\)

\(\Rightarrow a-2y+4;a+2y-4\) là các ước số của 21.

Với \(y\ge2\Rightarrow a-2y+4\le a+2y-4\) và \(a+2y-4\ge0\) Lập bảng:

Với \(y\ge2\Rightarrow a-2y+4\le a+2y-4\) và \(a+2y-4\ge0\) Lập bảng:

Với a=11, y=7. Phương trình (1) có 2 nghiệm:

\(x_1=\dfrac{-\left(4.7-5\right)+\sqrt{11^2}}{6}=-2\) (loại vì x>0)

\(x_2=\dfrac{-\left(4.7-5\right)-\sqrt{11^2}}{6}=-\dfrac{17}{3}\left(loại\right)\)

Với \(a=5;y=3\). Phương trình (1) có 2 nghiệm:

\(x_1=\dfrac{-\left(4.3-5\right)+\sqrt{5^2}}{6}=-\dfrac{1}{3}\left(loại\right)\)

\(x_2=\dfrac{-\left(4.3-5\right)-\sqrt{5^2}}{6}=-2\) (loại vì x>0)

Với \(a=5;y=1\). Phương trình (1) có 2 nghiệm:

\(x_1=\dfrac{-\left(4.1-5\right)+\sqrt{5^2}}{6}=1\)

\(x_2=\dfrac{-\left(4.1-5\right)-\sqrt{5^2}}{6}=-\dfrac{2}{3}\left(loại\right)\)

Vậy x,y nguyên dương thỏa mãn phương trình trên là \(x=y=1\)

Giả sử ta định m sao cho pt \(x^2-mx+m-1=0\left(1\right)\) luôn có nghiệm.

Theo định lí Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

\(C=\dfrac{2x_1x_2+3}{x_1^2+x_2^2+2\left(x_1x_2+1\right)}=\dfrac{2x_1x_2+3}{\left(x_1+x_2\right)^2+2}=\dfrac{2\left(m-1\right)+3}{m^2+2}=\dfrac{2m+1}{m^2+2}\)

\(\Rightarrow C\left(m^2+2\right)=2m+1\Rightarrow Cm^2-2m+\left(2C+1\right)=0\left(2\right)\)

Coi phương trình (2) là phương trình ẩn m tham số C, ta có:

\(\Delta'=1^2-C.\left(2C+1\right)=-2C^2-C+1\)

Để phương trình (2) có nghiệm thì:

\(\Delta'\ge0\Rightarrow-2C^2-C+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2C-1\right)\left(C+1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow-1\le C\le\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(MinC=-1;MaxC=\dfrac{1}{2}\)

\(x^2-mx+3=0\left(1\right)\)

Để phương trình (1) có nghiệm thì:

\(\Delta\ge0\Rightarrow m^2-4.3\ge0\Leftrightarrow m^2\ge12\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge2\sqrt{3}\\m\le-2\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

Theo định lí Vi-et ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=3\end{matrix}\right.\)

a) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}3x_1+x_2=6\\x_1x_2=3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x_1\left(6-3x_1\right)=3\)

\(\Leftrightarrow x_1\left(2-x_1\right)=1\)

\(\Leftrightarrow x_1^2-2x_1+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-1\right)^2=0\Leftrightarrow x_1=1\)

\(\Rightarrow x_2=\dfrac{3}{x_1}=\dfrac{3}{1}=3\)

\(\Rightarrow m=x_1+x_2=1+3=4\left(thỏa\right)\)

b) Vì x₁,x₂ là độ dài cạnh góc vuông của một tam giác vuông nên x₁,x₂>0

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2>0\\x_1x_2>0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\3>0\left(hiển\text{nhi}ên\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow m>0\)

Theo đề bài ta có: \(x_1^2+x_2^2=6^2=36\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=36\)

\(\Leftrightarrow m^2-2.3=36\)

\(\Leftrightarrow m^2=42\Leftrightarrow m=\sqrt{42}\left(m>0\right)\) (thỏa)

\(\left(2x-y-2\right)^2=7\left(x-2y-y^2-1\right)\)

\(\Leftrightarrow4x^2+y^2+4-8x-4xy+4y=7x-14y-7y^2-7\)

\(\Leftrightarrow4x^2+8y^2+11-15x+18y-4xy=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2-x\left(4y+15\right)+\left(8y^2+18y+11\right)=0\left(1\right)\)

Coi phương trình (1) là phương trình ẩn x tham số y, ta có:

\(\Delta=\left(4y+15\right)^2-4.4.\left(8y^2+18y+11\right)\)

\(=16y^2+120y+225-128y^2-288y-176\)

\(=-112y^2-168y+49\)

Để phương trình (1) có nghiệm thì:

\(\Delta\ge0\Rightarrow112y^2+168y-49\le0\)

\(\Leftrightarrow16y^2+24y-7\le0\)

\(\Leftrightarrow16y^2-4y+28y-7\le0\)

\(\Leftrightarrow4y\left(4y-1\right)+7\left(4y-1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(4y+7\right)\left(4y-1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{7}{4}\le y\le\dfrac{1}{4}\)

Vì y là số nguyên nên \(-1\le y\le0\).

Với \(y=0\Rightarrow\Delta=49\) là số chính phương, thỏa mãn.

\(\Rightarrow\)Phương trình (1) có 2 nghiệm:

\(x_1=\dfrac{4y+15+\sqrt{49}}{8}=\dfrac{4.0+15+7}{8}=\dfrac{11}{4}\left(loại\right)\)

\(x_2=\dfrac{4y+15-\sqrt{49}}{8}=\dfrac{4.0+15-7}{8}=1\left(nhận\right)\)

Với \(y=-1\Rightarrow\Delta=105\) không phải là số chính phương, loại.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên duy nhất là \(\left(x;y\right)=\left(1;0\right)\)

- Gọi \(x_1,x_3,x_5...,x_{999}\) lần lượt là các giá trị được gắn với mỗi điểm màu xanh.

\(x_2,x_4,x_6,...x_{1000}\) lần lượt là các giá trị được gắn với mỗi điểm màu đỏ.

Giả sử điểm được gắn giá trị \(x_1\)(tạm gọi là \(đ_1\)) xen kẽ với \(đ_{1000},đ_2\) ; \(đ_2\) xen kẽ với \(đ_1,đ_3\) ; ... ; \(đ_{1000}\) xen kẽ với \(đ_{999}\) và \(đ_1\).

Ta có: \(x_3=x_2+x_4\).Mà \(x_2=x_1x_3;x_4=x_3x_5\)

\(\Rightarrow x_3=x_1x_3+x_3x_5\Rightarrow x_1+x_5=1\) (vì \(x_3\ne0\)).

Tương tự \(x_3+x_7=x_5+x_9=...=x_{997}+x_1=x_{999}+x_3=1\)

\(\Rightarrow\left(x_1+x_5\right)+\left(x_3+x_7\right)+...+\left(x_{997}+x_1\right)+\left(x_{999}+x_3\right)=999\)

\(\Rightarrow2\left(x_1+x_3+...+x_{999}\right)=999\Rightarrow x_1+x_3+...+x_{999}=\dfrac{999}{2}\)

Mặt khác: \(x_1=x_{1000}+x_2;x_3=x_2+x_4;...;x_{999}=x_{998}+x_{1000}\)

\(\Rightarrow\left(x_{1000}+x_2\right)+\left(x_2+x_4\right)+...+\left(x_{998}+x_{1000}\right)=x_1+x_3+...+x_{999}\)

\(\Rightarrow2\left(x_2+x_4+...+x_{1000}\right)=\dfrac{999}{2}\)

\(\Rightarrow x_2+x_4+...+x_{1000}=\dfrac{999}{4}\)

Vậy tổng giá trị 1000 điểm trên là \(\dfrac{999}{2}+\dfrac{999}{4}=\dfrac{2997}{4}\)