Gợi ý: IE và AB cùng vuông góc với CD nên IE//AB.

\(\Rightarrow\widehat{DIE}=\widehat{DAB}\).

Mặt khác trong (O) \(\widehat{DAB}=\widehat{DMB}\)

\(\Rightarrow\widehat{DIE}=\widehat{DME}\) nên  DMIE nội tiếp.

\(\Rightarrow\widehat{IMD}=180^0-\widehat{IED}=180^0-90^0=90^0\)

=>đpcm.

- Bổ sung điều kiện: \(a,b,c>0\)

Ta chứng minh bất đẳng thức:

\(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\) (bạn tự chứng minh bằng phép biến đổi tương đương)

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

\(P=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\)

\(\le3\left[\left(\sqrt{a+b}\right)^2+\left(\sqrt{b+c}\right)^2+\left(\sqrt{c+a}\right)^2\right]\)

\(=6\left(a+b+c\right)=6.3=18\)

\(\Rightarrow P\le\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1.

Vậy \(MinP=\sqrt{18}\)

- Bài này phải có điều kiện \(x>0\) thì mới làm được nhé bạn.

\(\sqrt{x-2}+1=2x-\dfrac{20}{x+2}\left(1\right)\)

Đk: \(x\ge2\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\sqrt{x-2}-1=2x-\dfrac{20}{x+2}-2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-2\right)-1}{\sqrt{x-2}+1}=\dfrac{2x\left(x+2\right)-2\left(x+2\right)-20}{x+2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-2\right)-1}{\sqrt{x-2}+1}=\dfrac{2x^2+2x-24}{x+2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-3}{\sqrt{x-2}+1}=\dfrac{2\left(x-3\right)\left(x+4\right)}{x+2}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\left(nhận\right)\\\dfrac{1}{\sqrt{x-2}+1}=2.\dfrac{x+4}{x+2}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow2\left(x+4\right)\sqrt{x-2}+2\left(x+4\right)=x+2\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+4\right)\sqrt{x-2}+x+6=0\left(3\right)\)

Ta có \(x\ge2>0\Rightarrow2\left(x+4\right)\sqrt{x-2}+x+6>0\)

Vì vậy phương trình (3) vô nghiệm. Khi đó phương trình (2) cũng vô nghiệm.

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất là \(x=3\)

Gợi ý: \(2^x+9=y^2\left(1\right)\)

Ta có y² là số chính phương nên y² chỉ chia 3 dư 0 hoặc 1.

- Nếu y² chia 3 dư 0 ⇒ 2^x chia hết cho 3 -->vô lý.

⇒ y² chia 3 dư 1. Khi đó 2^x chia 3 dư 1.

Xét số dư của 2^x khi chia cho 3.

Ta có \(2^2\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow2^{2k}\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow2^{2k+1}\equiv2\left(mod3\right)\)

Ta thấy nếu x chẵn thì 2^x chia 3 dư 1, x lẻ thì 2^x chia 3 dư 2.

Từ các điều ta chứng minh => x chẵn. Đặt \(x=2a\) (a∈N)

\(\left(1\right)\Rightarrow y^2-2^{2a}=9\Rightarrow\left(y-2^a\right)\left(y+2^a\right)=9\)

Đến đây ta xét các trường hợp ước số của 9.

Giải ra ta được \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=3\end{matrix}\right.;\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=5\end{matrix}\right.\) (loại các trường hợp y âm)

Bài này là bài của lớp 8 đúng không vậy bạn? Mình chỉ nghĩ ra cách sử dụng đường trung bình thôi :)

Đề đúng rồi nhé bạn :v

Dòng 15 từ dưới đếm lên, sửa:

Với \(y< 2\Rightarrow a-2y+4>a+2y-4\) và \(a-2y+4>0\). Lập bảng: