Anh ơi phương trình thì phải có hai vế, nằm giữa hai vế là dấu "=" chứ anh?

Sai từ bước đầu tiên luôn .-. nhân tử là \(px+q\) mà.

Nhớ kiến thức là được rồi, giải thích chi cho mệt :v

Mình mới sửa một chút nhé.

\(\left(A+\dfrac{1}{2}\right)^2\le\dfrac{3}{4}\) \(\Leftrightarrow\left|A+\dfrac{1}{2}\right|\le\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}A+\dfrac{1}{2}\le\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\A+\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{-\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\dfrac{-\sqrt{3}}{2}\le A+\dfrac{1}{2}\le\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Nếu gặp dạng \(a^2\le b\) (b là số dương) thì a sẽ bé hơn b và lớn hơn số đối của b, nói chung a nằm trong khoảng từ -b đến b.

Ví dụ: \(a^2\le4\Leftrightarrow\left|a\right|\le2\Leftrightarrow-2\le a\le2\)

a (tóm tắt lại): Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

\(x^2=mx-m+1\)

\(\Leftrightarrow x^2-mx+m-1=0\left(1\right)\)

Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt. Do đó \(\Delta>0\Leftrightarrow m\ne2\).

b) \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)-m\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-m+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=m-1\end{matrix}\right.\)

Do đó phương trình (1) có 2 nghiệm là x=1 và x=m-1. Mặt khác phương trình (1) cũng có 2 nghiệm phân biệt là x₁, x₂ và vai trò của x₁, x₂ trong biểu thức A là như nhau nên ta giả sử \(x_1=1;x_2=m-1\left(m\ne2\right)\)

Từ đây ta có:

\(A=\dfrac{2.1.\left(m-1\right)}{1^2+\left(m-1\right)^2+2\left[1+1.\left(m-1\right)\right]}\)

\(=\dfrac{2\left(m-1\right)}{1+\left(m-1\right)^2+2+2\left(m-1\right)}\)

\(=\dfrac{2\left(m-1\right)}{1+\left(m^2-2m+1\right)+2+2m-2}=2.\dfrac{m-1}{m^2+2}\)

\(\Rightarrow A\left(m^2+2\right)=2\left(m-1\right)\)

\(\Leftrightarrow Am^2-2m+2\left(A+1\right)=0\left(2\right)\)

Coi phương trình (2) là phương trình bậc 2 tham số A ẩn x, ta có:

\(\Delta'\left(2\right)=1^2-2A\left(A+1\right)=-2\left(A^2+A\right)+1=-2\left(A+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{2}\)

Để phương trình (2) có nghiệm thì \(\Delta'\left(2\right)\ge0\Rightarrow-2\left(A+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(A+\dfrac{1}{2}\right)^2\le\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\le A+\dfrac{1}{2}\le\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\le A\le\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\)

Để phương trình (2) có nghiệm kép thì: \(\Delta'\left(2\right)=0\Rightarrow m=\dfrac{1}{A}\)

\(MinA=-\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\Leftrightarrow\Delta'\left(2\right)=0\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{A}\dfrac{1}{-\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}}=1-\sqrt{3}\)

\(MaxA=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\Leftrightarrow\Delta'\left(2\right)=0\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{A}=\dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}}=\sqrt{3}+1\)

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

\(x^2=2x-m+3\Leftrightarrow x^2-2x+m-3=0\left(1\right)\)

\(a=1;b=-2;c=m-3\Rightarrow b'=\dfrac{b}{2}=-1\)

\(\Delta'\left(1\right)=b'^2-ac=1^2-1.\left(m-3\right)=-m+4\)

Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt (hay (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt) thì \(\Delta'\left(1\right)>0\Rightarrow-m+4>0\Leftrightarrow m< 4\)

Vì (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ nên x₁,x₂ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (1).

Theo định lí Viete ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-2}{1}=2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m-3}{1}=m-3\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x_1^2\left(x_2+2\right)+x_2^2\left(x_1+2\right)\le20\)

\(\Rightarrow x_1x_2\left(x_1+x_2\right)+2\left(x_1^2+x_2^2\right)\le20\)

\(\Rightarrow x_1x_2\left(x_1+x_2\right)+2\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]\le20\)

\(\Rightarrow\left(m-3\right).2+2\left[2^2-2\left(m-3\right)\right]\le20\)

\(\Leftrightarrow m-3+4-2\left(m-3\right)-10\le0\)

\(\Leftrightarrow-m-3\le0\Leftrightarrow m\ge-3\)

Vậy \(-3\le m\le4\)

\(\sqrt{x^2+2x+17}+\sqrt{x^2+2x+10}=6-x^2-2x\left(1\right)\)

\(VT\left(1\right)=\sqrt{\left(x+1\right)^2+16}+\sqrt{\left(x+1\right)^2+9}\ge\sqrt{16}+\sqrt{9}=7\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x+1=0\Leftrightarrow x=-1\)

\(VP\left(1\right)=-\left(x^2+2x+1\right)+7=-\left(x+1\right)^2+7\le7\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x+1=0\Leftrightarrow x=-1\)

\(\Rightarrow VT\left(1\right)\ge7\ge VP\left(1\right)\)

\(\Rightarrow x=-1\)

Thử lại ta có phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x=-1.

- Dễ dàng nhận thấy \(x=-1\) không phải là 1 nghiệm của đa thức P(x).

- Gọi b là 1 nghiệm của đa thức \(P\left(x\right)=x^3+3x^2-1\)

Do đó: \(b^3+3b^2-1=0\)

\(\Rightarrow\left(b^3+3b^2+3b+1\right)-3\left(b+1\right)+1=0\)

\(\Rightarrow\left(b+1\right)^3-3\left(b+1\right)+1=0\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(b+1\right)^3-3\left(b+1\right)+1}{\left(b+1\right)^3}=0\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{b+1}\right)^3-3.\left(\dfrac{1}{b+1}\right)^2+1=0\)

\(\Rightarrow\left(-\dfrac{1}{b+1}\right)^3+3.\left(-\dfrac{1}{b+1}\right)^2-1=0\)

Thay \(x=-\dfrac{1}{b+1}\) vào \(P\left(x\right)=x^3+3x^2-1\) ta được:

\(P\left(-\dfrac{1}{b+1}\right)=\left(-\dfrac{1}{b+1}\right)^3+3.\left(-\dfrac{1}{b+1}\right)^2-1=0\)

\(\Rightarrow-\dfrac{1}{b+1}\) là một nghiệm của đa thức P(x).

Đặt \(a=-\dfrac{1}{b+1}\Rightarrow ab+a+1=0\) \(\Rightarrowđpcm\)

Đổi 30 phút =1/2 h

- Gọi vận tốc xe thứ hai là x (km/h) (x>0)

- Vận tốc xe thứ nhất là x+10 (km/h)

- Thời gian xe thứ nhất đi hết quãng đường AB: \(\dfrac{100}{x}\) (h)

- Thời gian xe thứ hai đi hết quãng đường AB: \(\dfrac{100}{x+10}\) (h)

Vì xe thứ nhất đến trước xe thứ hai 30 phút nên ta có phương trình:

\(\dfrac{100}{x}-\dfrac{100}{x+10}=\dfrac{1}{2}\left(x\ne0,x\ne-10\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+10}=\dfrac{1}{200}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{10}{x\left(x+10\right)}=\dfrac{1}{200}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x\left(x+10\right)}=\dfrac{1}{2000}\)

\(\Rightarrow x^2+10x-2000=0\)

Giải phương trình trên ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=40\left(n\right)\\x_2=-50\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy vận tốc xe thứ nhất là 40+10=50 km/h, vận tốc xe thứ hai là 40 km/h.

\(\sqrt{8x^3-1}=2x^2-2x+2\left(1\right)\)

Đk: \(x\ge\dfrac{1}{2}\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\sqrt{\left(2x-1\right)\left(4x^2+2x+1\right)}=2x^2-2x+2\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=\sqrt{2x-1}\left(a\ge0\right)\\b=\sqrt{4x^2+2x+1}\left(b>0\right)\end{matrix}\right.\). Phương trình trở thành:

\(ab=\dfrac{b^2-3a^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow b^2-2ab-3a^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(b+a\right)\left(b-3a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b+a=0\\b-3a=0\end{matrix}\right.\)

Với b+a=0 (loại vì \(a+b>0\))

Với \(b-3a=0\Rightarrow\sqrt{4x^2+2x+1}-3\sqrt{2x-1}=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2+2x+1=9\left(2x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow4x^2-16x+10=0\)

\(\Leftrightarrow2x^2-8x+5=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{4+\sqrt{6}}{2}\\x=\dfrac{4-\sqrt{6}}{2}\end{matrix}\right.\)

Thử lại ta có các nghiệm của phương trình (1) là \(x=\dfrac{4+\sqrt{6}}{2}\) và \(x=\dfrac{4-\sqrt{6}}{2}\)