Ừm mình nhớ có 3 lần off thì phải ;) , hai lần khoảng 6 tháng, một lần thì 3 tháng.

Gần 3 năm rồi ;))

\(pq\left(n+1\right)=\left(p+q\right)\left(n^2+1\right)\left(1\right)\)

Xét 2 trường hợp:

1) \(p=q\). Khi đó \(p^2\left(n+1\right)=2p\left(n^2+1\right)\Rightarrow p\left(n+1\right)=2\left(n^2+1\right)\)

\(\Rightarrow p\left(n+1\right)=2\left(n+1\right)^2-4n\Rightarrow4n⋮\left(n+1\right)\)

Do \(\left(n,n+1\right)=1\) nên \(4⋮\left(n+1\right)\Rightarrow n\in\left\{0;1;3\right\}\).

n=0 thì p=q=2. n=1 thì p=q=2. n=3 thì 4p=20, suy ra p=q=5.

2) \(p\ne q\Rightarrow\left(pq,p+q\right)=1\left(2\right)\)

Xét n chẵn. Ta có: \(\left(n+1,n^2+1\right)=1\). Từ (1) và (2), do p,q là các số nguyên tố, nên ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}n^2+1=pq\left(2\right)\\n+1=p+q\left(3\right)\end{matrix}\right.\). Do n chẵn nên từ (2), ta phải có p,q lẻ. Khi đó \(\left(p+q\right)⋮2\), mà \(\left(n+1\right)⋮̸2\), mâu thuẫn.

Xét n lẻ. Đặt \(n=2k+1\). Từ (1) ta có:

\(pq\left(k+1\right)=\left(p+q\right)\left(2k^2+2k+1\right)\)

Dễ dàng chứng minh được \(\left(k+1,2k^2+2k+1\right)=1\), nên:

\(\left\{{}\begin{matrix}2k^2+2k+1=pq\\k+1=p+q\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}k^2+2k+1=pq-k^2\\k^2+2k+1=p^2+2pq+q^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow pq-k^2=p^2+2pq+q^2\Rightarrow k^2+p^2+2pq+q^2=0\)

Dễ thấy vế trái luôn lớn hơn 0, vô lý.

Vậy \(\left(p,q\right)=\left(2,2\right),\left(5,5\right)\)

Bài 2:

a) Gợi ý: Gọi I là tâm nội tiếp tam giác ABC thì IBI_aC nội tiếp. Đến đây biến đổi góc thì chứng minh được cả hai ý.

b) Từ ý đồng dạng suy ra \(\dfrac{AB}{AK}=\dfrac{AY}{AI_a}\), nên \(\Delta ABK\sim\Delta AI_aY\) =>đpcm.

c) Gọi F là trung điểm AB thì \(\Delta AFK\) cân tại F, nên \(\widehat{FKA}=\widehat{BAK}=\widehat{CAK}\)=>FK//AC, từ đây ta có đpcm.

P/s: với mô hình này, đổi tâm bàng tiếp thành tâm nội tiếp thì ta cũng có những tính chất tương tự (và mô hình nội tiếp thường dùng nhiều hơn mô hình bàng tiếp).

Bài 3:

Dựa vào tính chất MN//BC và biến đổi góc thì chứng minh được \(NK=NC\Rightarrow\widehat{AKC}=90^0\).

Khi đó AKI_aZ nội tiếp. Đến đây dùng biến đổi góc để chứng minh \(\widehat{I_aZX}=\widehat{I_aZK}\)

Mấy bài này bình thường với toán chuyên mà anh =) . Bài này có phương pháp cụ thể rồi nên giải dễ thôi, còn có mấy bài oái oăm hơn nữa =(

Từ phương trình (1) và (2), ta có \(y>0;x< 0\). Từ phương trình (1), ta có: \(y=-\dfrac{x^2+x+3}{x}\).

Thay vào phương trình (2), ta được:

\(\dfrac{\left(x+1\right)^2-3.\dfrac{x^2+3}{x}}{2}=\sqrt{-\dfrac{x^2+x+3}{x}\left(x^2+2\right)}+\left(x^2+x+3\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-x^2-5}{2}-\dfrac{3}{2}.\dfrac{x^2+3}{x}=\sqrt{-\dfrac{x^2+x+3}{x}\left(x^2+2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^3+5x}{2}+\dfrac{3x^2+9}{2}=\sqrt{-x.\left(x^2+x+3\right)\left(x^2+2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^3+3x^2+5x+9}{2}=\sqrt{\left(-x^2-x-3\right)\left(x^3+2x\right)}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=\sqrt{-x^2-x-3}\\b=\sqrt{x^3+2x}\end{matrix}\right.\left(a,b< 0\right)\). Phương trình trên trở thành:

\(ab=\dfrac{1}{2}b^2-\dfrac{3}{2}a^2\Leftrightarrow b^2-2ab-3a^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(b+a\right)\left(b-3a\right)=0\Leftrightarrow b=3a\).

Đến đây giải phương trình bình thường là được.

\(\lim\limits_{x\rightarrow-1}\dfrac{1+\sqrt[3]{x}}{1+\sqrt[5]{x}}=\lim\limits_{x\rightarrow-1}\dfrac{\dfrac{x+1}{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x}+1}}{\dfrac{x+1}{\sqrt[5]{x^4}-\sqrt[5]{x^3}+\sqrt[5]{x^2}-\sqrt[5]{x}+1}}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow-1}\dfrac{\sqrt[5]{x^4}-\sqrt[5]{x^3}+\sqrt[5]{x^2}-\sqrt[5]{x}+1}{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x}+1}=\dfrac{1+1+1+1+1}{1+1+1}=\dfrac{5}{3}\)

Mình trình bày kĩ thuật để giải bài này luôn nha (kĩ thuật này thường gọi là phương pháp hệ số bất định trong BĐT AM-GM). Kỹ thuật này dùng khi bất đẳng thức có các hệ số khác nhau, dẫn đến "điểm rơi" khác nhau.

Xét các số thực dương \(\alpha,\beta>0\), ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}a^3+2\alpha^3\ge3\alpha^2a\\b^3+2\beta^3\ge3\beta^2b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow3\left(\alpha^2a+\beta^2b\right)\le a^3+b^3+2\left(\alpha^3+\beta^3\right)\le1+2\left(\alpha^3+\beta^3\right)\)

Việc bây giờ cần làm là chọn các hệ số \(\alpha,\beta>0\) để có các hệ số tỉ lệ với hệ số của biểu thức A. Ta có: \(4\alpha^2=\beta^2\Rightarrow2\alpha=\beta\).

"Điểm rơi" của biểu thức A là \(a=\alpha;b=\beta\) và \(a^3+b^3=1\). Do đó: \(\alpha^3+\beta^3=1\Rightarrow9\beta^3=1\Rightarrow\beta=\dfrac{\sqrt[3]{3}}{3};\alpha=\dfrac{\sqrt[3]{3}}{6}\). Đến đây là xong rồi :D, bạn chỉ cần trình bày lại thôi.