\(a+b+c+d=4;a,b,c,d>0\)

Ta có:\(\sum\dfrac{a}{1+b^2c}=\sum\dfrac{a^2}{a+ab^2c}\ge\dfrac{\left(a+b+c+d\right)^2}{a+b+c+d+\sum ab^2c}=\dfrac{16}{4+\sum ab^2c}\)

Cần chứng minh \(\sum ab^2c\le4\). Để chứng minh BDT trên, ta chứng minh \(\left(xy+yz+zt+tx\right)\le\dfrac{\left(x+y+z+t\right)^2}{4}\left(1\right)\).

Thật vậy, bằng phép biến đổi tương đương, ta có: 

\(x^2+y^2+z^2+t^2+2\left(xy+yz+zt+tx+xz+yt\right)\ge4\left(xy+yz+zt+tx\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+t^2-2\left(xy+yz+zt+tx\right)+2\left(xz+yt\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+z\right)^2-2\left(x+z\right)\left(y+t\right)+\left(y+t\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+z-y-t\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy bất đẳng thức (1) đúng. Áp dụng bất đẳng thức (1), ta có:

\(\sum ab^2c\le\dfrac{\left(ab+bc+cd+da\right)^2}{4}\le\dfrac{\left[\dfrac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4}\right]^2}{4}=4\)

Từ đây ta có điều phải chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d=1\)

Có thể rút kết luận trong bài này là: nếu D,E,F cùng phía so với AB và độ dài AB không đổi thì G di chuyển trên 1 đường thẳng cố định (là đường thẳng song song với AB cách AB một khoảng bằng \(\dfrac{\sqrt{3}}{6}\)AB, tất nhiên, đường thẳng này phải cùng phía với D,E,F đối với AB).

- Kẻ các đường cao DH₁, EH₂, FH₃ của các tam giác AMD, MNE, NBF.

- Gọi DI là trung tuyến của tam giác DEF \(\Rightarrow\dfrac{DG}{DI}=\dfrac{2}{3}\)

Hạ IH₄ vuông góc với AB (H₄ thuộc AB).

Dễ dàng chứng minh \(\left\{{}\begin{matrix}DH_1=\dfrac{\sqrt{3}}{2}AM\\EH_2=\dfrac{\sqrt{3}}{2}MN\\FH_3=\dfrac{\sqrt{3}}{2}BN\end{matrix}\right.\) và IH₄ là đường trung bình của hình thang EH₂H₃F.

\(\Rightarrow IH_4=\dfrac{EH_2+FH_3}{2}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}MN+\dfrac{\sqrt{3}}{2}BN}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\left(MN+BN\right)\left(1\right)\)

Giờ ta tập trung vào hình thang DH₁H₄I. Hạ GK vuông góc với AB (K thuộc AB).

*Gọi T là giao của DH₄ và GK.

Theo định lí Thales, ta có: \(\dfrac{GT}{IH_4}=\dfrac{DG}{DI}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow IH_4=\dfrac{2}{3}GT\)

\(\dfrac{GI}{ID}=\dfrac{H_4T}{H_4D}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow\dfrac{TK}{DH_1}=\dfrac{H_4T}{H_4D}=\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow TK=\dfrac{DH_1}{3}\)

\(\Rightarrow h=\dfrac{2IH_4}{3}+\dfrac{DH_1}{3}=\dfrac{2.\dfrac{\sqrt{3}}{4}\left(MN+BN\right)}{3}+\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}AM}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}\left(AM+MN+BN\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{6}AB\)

*Tìm min:

\(P=\dfrac{a}{1-a}+\dfrac{b}{1-b}=\dfrac{1}{1-a}-1+\dfrac{1}{1-b}-1\)

\(\ge\dfrac{4}{\left(1-a\right)+\left(1-b\right)}-2\)

\(=\dfrac{4}{2-\dfrac{1}{2}}-2=\dfrac{2}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{4}\). Do đó minP=2/3

*Tìm max: \(a,b\ge0\)

\(P=\dfrac{a}{1-a}+\dfrac{b}{1-b}=\dfrac{a-ab+b-ab}{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}\)

\(=\dfrac{\dfrac{1}{2}-2ab}{1-\left(a+b\right)+ab}=\dfrac{\dfrac{1}{2}-2ab}{\dfrac{1}{2}+ab}=\dfrac{\dfrac{3}{2}-2\left(\dfrac{1}{2}+ab\right)}{\dfrac{1}{2}+ab}\)

\(=\dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{1}{2}+ab}-2\le\dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{1}{2}}-2=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b\right)=\left(0;\dfrac{1}{2}\right),\left(\dfrac{1}{2};0\right)\)

Vậy maxP=1

- Nếu trong n điểm không có 3 điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng kẻ được là \(\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}\) đường.

- Số đường thẳng bị giảm nếu n điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng trở thành n điểm thẳng hàng là: \(\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}-1\) đường.

- Số đường thẳng tạo bởi 100 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng là: \(\dfrac{100.99}{2}=4950\) đường.

- Theo đề bài ta có: \(4950-\left(\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}-1\right)=4915\)

\(\Leftrightarrow n\left(n-1\right)=72\)

\(\Leftrightarrow n^2-n-72=0\)

Giải phương trình trên ta được \(n=9\left(n\right)\) hay \(n=-8\) (loại)

Vậy n=9.

Đây là kỹ thuật hệ số bất định trong BĐT Cô-si, bạn có thể lên mạng tìm thêm.

:v ẹc, vậy thôi khỏi dùng ik, lên đây đăng bài mình giải giúp cho.

usechatgpt init success là gì vậy bạn :))?

\(x^2+y^2-xy=4\) \(\Rightarrow\dfrac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(x-y\right)^2=4\)

\(\Rightarrow P=8-\left(x-y\right)^2\le8\)

\(MaxP=8\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-xy=4\\x-y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\pm2\)

\(x^2+y^2-xy=\dfrac{3}{2}\left(x^2+y^2\right)-\dfrac{1}{2}\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow4=\dfrac{3}{2}P-\dfrac{1}{2}\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow P=\dfrac{8+\left(x+y\right)^2}{3}\ge\dfrac{8}{3}\)

\(MinP=\dfrac{8}{3}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-xy=4\\x+y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\pm\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\\y=\mp\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\end{matrix}\right.\)

Bài 16:

\(9x^3+2x-\sqrt[3]{3x+24}-8=0\left(1\right)\)

Đặt \(u=\sqrt[3]{3x+24}\Rightarrow u^3=3x+24\). Ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}9x^3+2x-u-8=0\\u^3=3x+24\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}27x^3+6x-3u-24=0\\u^3-3x-24=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(27x^3+6x-3u-24\right)-\left(u^3-3x-24\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(27x^3-u^3\right)+3\left(3x-u\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(3x-u\right)\left(9x^2+3xu+u^2\right)+3\left(3x-u\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(3x-u\right)\left(9x^2+3xu+u^2+3\right)=0\)

\(\Rightarrow3x-u=0\Rightarrow3x=u\)

\(\Rightarrow3x=\sqrt[3]{3x+24}\)

\(\Leftrightarrow27x^3=3x+24\Leftrightarrow9x^3-x-8=0\)

\(\Leftrightarrow9x^3-9x^2+9x^2-9x+8x-8=0\)

\(\Leftrightarrow9x^2\left(x-1\right)+9x\left(x-1\right)+8\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(9x^2+9x+8\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1\)

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất là 1.