\(a,b>0;a+b=4\)

\(\sum\dfrac{a}{8+2b^3}=\dfrac{1}{8}\sum\dfrac{8a}{8+2b^3}=\dfrac{1}{8}\sum\left(a-\dfrac{2ab^3}{8+b^3+b^3}\right)\ge\dfrac{1}{8}\sum\left(a-\dfrac{2ab^3}{6b^2}\right)\)

\(=\dfrac{1}{8}\left(a+b\right)-\dfrac{1}{12}ab=\dfrac{1}{8}.4-\dfrac{1}{12}ab\ge\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{12}.\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{12}.\dfrac{4^2}{4}=\dfrac{1}{6}\left(dpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=2\)

\(a,b,c,d>0;a+b+c+d=8\)

\(\sum\dfrac{a^3}{a^2+b+c}=\sum\left[a-\dfrac{a\left(b+c\right)}{a^2+b+c}\right]\ge\sum\left[a-\dfrac{a\left(b+c\right)}{2a\sqrt{b+c}}\right]=\sum\left(a-\dfrac{\sqrt{b+c}}{2}\right)\)

\(=\sum\left(a-\dfrac{\sqrt{\left(b+c\right).4}}{4}\right)\ge\sum\left(a-\dfrac{b+c+4}{8}\right)=\left(a+b+c+d\right)-\dfrac{2\left(a+b+c+d\right)+4.4}{8}=8-\dfrac{2.8+16}{8}=4\left(dpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d=2\)

Note: 2 bài anh đã làm cho em, anh dùng phương pháp Cauchy ngược dấu để làm nhé.

\(a,b,c>0;a+b+c=6\)

\(\sum\dfrac{a}{2b^3+8}=\dfrac{1}{8}.\sum\dfrac{8a}{2b^3+8}=\dfrac{1}{8}\sum\left(a-\dfrac{2ab^3}{b^3+b^3+8}\right)\)

\(\ge\dfrac{1}{8}\sum\left(a-\dfrac{2ab^3}{6b^2}\right)=\dfrac{1}{8}\sum a-\dfrac{1}{24}\sum ab=\dfrac{3}{4}-\dfrac{\sum ab}{24}\)

\(\ge\dfrac{3}{4}-\dfrac{\dfrac{\left(\sum a\right)^2}{3}}{24}=\dfrac{3}{4}-\dfrac{\dfrac{6^2}{3}}{24}=\dfrac{1}{4}\) (dpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)

Idol toán chuyên ơi chỉ cho em dùng UCT bài của anh ik ;)

\(a,b,c>0\)

\(\sum\dfrac{a}{\left(b+c\right)^2}\ge\dfrac{9}{4\left(a+b+c\right)}\)

\(\Leftrightarrow\sum\dfrac{a\left(a+b+c\right)}{\left(b+c\right)^2}\ge\dfrac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow\sum\left(\dfrac{a}{b+c}\right)^2+\sum\left(\dfrac{a}{b+c}\right)\ge\dfrac{9}{4}\)

Ta sẽ chứng minh \(\sum\dfrac{a}{b+c}\ge\dfrac{3}{2}\) (note: đây là BDT Nesbitt và có rất nhiều cách chứng minh BDT này, sau đây anh sử dụng BDT Cauchy-Schwarz).

Thật vậy, áp dụng BDT Cauchy-Schwarz (dạng phân thức), ta có:

\(\sum\dfrac{a}{b+c}=\sum\dfrac{a^2}{ab+ac}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{3}{2}\left(1\right)\)

Từ đây ta cũng có:

\(\sum\left(\dfrac{a}{b+c}\right)^2\ge\dfrac{\left(\sum\dfrac{a}{b+c}\right)^2}{3}\ge\dfrac{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}{3}=\dfrac{3}{4}\left(2\right)\)

Lấy (1)+(2) ta được bất đẳng thức ban đầu. Vậy ta có điều phải chứng minh.

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Đặt \(a=\dfrac{x}{2};b=\dfrac{y}{2};c=\dfrac{z}{2}\). Khi đó \(xyz=1\).

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

\(\sum\dfrac{1}{\sqrt{8x^3+1}}\ge1\)

Ta có: \(\sum\dfrac{1}{\sqrt{8x^3+1}}=\sum\sqrt{\dfrac{b^3c^3}{8+b^3c^3}}=\sum\dfrac{b^2c^2}{\sqrt{8bc+b^4c^4}}\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{\sum\sqrt{8bc+b^4c^4}}=\dfrac{\sum b^2c^2+2\sum a}{\sum\sqrt{8bc+b^4c^4}}\ge\dfrac{\sum b^2c^2+6}{\sum\sqrt{8bc+b^4c^4}}\)

Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chứng minh được:

\(\sum b^2c^2+6\ge\sum\sqrt{8bc+b^4c^4}\left(\cdot\right)\)

Để ý rằng, nếu ta chứng minh được \(b^2c^2+2\ge\sqrt{8bc+b^4c^4}\left(1\right)\) thì ta sẽ chứng minh được (*).

Thật vậy, bằng phép biến đổi tương đương, ta có:

\(b^2c^2+2\ge\sqrt{8bc+b^4c^4}\)

\(\Leftrightarrow b^4c^4+4b^2c^2+4\ge8bc+b^4c^4\)

\(\Leftrightarrow4\left(bc-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng).

Vậy nhận xét (1) là đúng. Từ đây ta có điều phải chứng minh.

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)

\(a,b,c>0\)

\(\sum\sqrt{\dfrac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}=\sum\dfrac{3a^3}{\sqrt{9a^3\left[a^3+\left(b+c\right)^3\right]}}\ge\sum\dfrac{3a^3}{\dfrac{9a^3+a^3+\left(b+c\right)^3}{2}}=6\sum\dfrac{a^3}{10a^3+\left(b+c\right)^3}\)

\(6\sum\dfrac{a^3}{10a^3+\left(b+c\right)^3}=6\sum\dfrac{a^6}{10a^3b^3+a^3\left(b+c\right)^3}\ge6\dfrac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{\sum10a^3b^3+\sum a^3\left(b+c\right)^3}\)
Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chứng minh được:

\(\left(a^3+b^3+c^3\right)^2\ge\sum10a^3b^3+\sum a^3\left(b+c\right)^3\left(\cdot\right)\)

Thật vậy, áp dụng BDT \(\left(b+c\right)^3\le4\left(b^3+c^3\right)\) (em tự chứng minh, có thể dùng Cauchy hoặc biến đổi tương đương nhé :), ta được:

\(\sum10a^3b^3+\sum a^3\left(b+c\right)^3\le\sum10a^3b^3+4\sum a^3\left(b^3+c^3\right)=18\left(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\right)\left(1\right)\)

Cuối cùng, áp dụng BDT \(ab+bc+ca\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\), ta duoc:

\(18\left(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\right)\le6\left(a^3+b^3+c^3\right)^2\left(2\right)\)

Từ (1), (2) ta có BDT (*). Từ đây ta có điều phải chứng minh.

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Nhân bung ra, rút gọn rồi đưa về bất đẳng thức: \(\sum\dfrac{xy}{z}\ge\sum2x\), đến đây dùng BDT Cauchy là xong rồi em.