Đỗ Tuệ Lâm t là idol j nx, già lắm r 🙂

\(y=cos^4x+sin^2x-2\). Đặt \(t=cos^2x\left(t\in\left[0;1\right]\right)\).

Khi đó \(y=t^2-t-1\).

Xét bảng biến thiên:

Ta thấy: \(\left\{{}\begin{matrix}Min\left(y\right)=-\dfrac{5}{4}\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow cos^2x=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\\Max\left(y\right)=1\Leftrightarrow t=\Leftrightarrow cos^2x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\end{matrix}\right.\)


 

\(y=\dfrac{sinx+1}{sin^2x+sinx+1}\left(1\right)\). Đặt \(t=sinx\left(t\in\left[-1;1\right]\right)\).

Để ý \(y\ge0,\forall x\in R\)

-Với \(t=-1\left(x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\right)\) thì \(y=0\)

-Với \(t\ne-1\), khi đó \(y\ne0\). Từ (1) ta có: \(yt^2+yt+y=t+1\)

\(\Rightarrow yt^2+\left(y-1\right)t+\left(y-1\right)=0\) (*)

Xét phương trình (*) là phương trình bậc 2 ẩn t tham số y.

Để phương trình (*) có nghiệm thì: \(\Delta\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(y-1\right)^2-4y\left(y-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-3y^2+2y+1\ge0\) \(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{3}\le y\le1\) \(\Rightarrow0\le y\le1\)
Phương trình (*) nếu có nghiệm kép thì nghiệm kép là \(t_0=\dfrac{1-y}{2y}\). Khi đó \(\Delta=0\Leftrightarrow y=1\Leftrightarrow t=0\Leftrightarrow x=k\pi\).

Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}Miny=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\\Maxy=1\Leftrightarrow x=k\pi\end{matrix}\right.\)

#h24cfs_638

Đúng thật đề năm nay khó hơn :) , hình như có 1,2 câu thực tế khó hơn năm ngoái.

Ta có: \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

Khi đó: \(\left(x-y\right)^3+\left(y-z\right)^3+\left(z-x\right)^3=\left(x-y+y-z+z-x\right)^3-3\left(x+z-2y\right)\left(y+x-2z\right)\left(z+y-2x\right)=-3\left(x+z-2y\right)\left(y+x-2z\right)\left(z+y-2x\right)=\)

Vậy ta cần chứng minh \(\left(x+z-2y\right)\left(y+x-2z\right)\left(z+y-2x\right)⋮27\)

Ta có: \(\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)=x+y+z\). Xét 2 trường hợp:

+Trường hợp 1: x,y,z có các số dư khác nhau khi chia cho 3. Không mất tính tổng quát, giả sử \(\left\{{}\begin{matrix}x\equiv0\left(mod3\right)\\y\equiv1\left(mod3\right)\\z\equiv2\left(mod3\right)\end{matrix}\right.\). Khi đó \(\left(x+y+z\right)⋮3\).

Mặt khác, để ý \(\left(x-y\right),\left(y-z\right),\left(z-x\right)⋮̸3\), nên \(\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)⋮̸3\)

(mâu thuẫn). Vậy trường hợp này không tồn tại.

+Trường hợp 2: 2 trong 3 số x,y,z có cùng số dư khi chia cho 3. Không mất tính tổng quát, giả sử 2 số đó là x,y. Khi đó \(\left(x-y\right)⋮3\) \(\Rightarrow\left(x+y+z\right)⋮3\).

\(\Rightarrow\left(x-y+x+y+z\right)⋮3\Rightarrow\left(2x+z\right)⋮3\Rightarrow\left(-3x+2x+z\right)⋮3\Rightarrow\left(z-x\right)⋮3\)

Vậy x,y,z có cùng số dư khi chia cho 3. Khi đó: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+z-2y\right)⋮3\\\left(y+x-2z\right)⋮3\\\left(y+z-2x\right)⋮3\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(x+z-2y\right)\left(y+x-2z\right)\left(z+y-2x\right)⋮27\)

\(\Rightarrowđpcm\)

\(a,b,c\in Z^+\)

a) Do a,b có vai trò như nhau nên không mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\)\(a+b+1=abc\Rightarrow\left(a+b+1\right)⋮a\)

\(\Rightarrow\left(b+1\right)⋮a\Rightarrow\left|b+1\right|\ge\left|a\right|\Rightarrow b+1\ge a\Rightarrow1\ge a-b\ge0\)

Ta xét 2 trường hợp:

-Trường hợp 1: \(a=b\). Khi đó ta có: \(2a+1=a^2c\Rightarrow\left(2a+1\right)⋮a^2\Rightarrow1⋮a\Rightarrow a=1\)

\(\Rightarrow c=3\). Vậy \(a=b=1;c=3\).

-Trường hợp 2: \(a=b+1\). Khi đó ta có: \(2a=a\left(a-1\right)c\Rightarrow2=\left(a-1\right)c\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a-1=2\\c=1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=3\\c=1\end{matrix}\right.\) (ở đây ta xét số nguyên dương nên ta loại \(a=0\))

Vậy \(a=3;b=2;c=1\)

Kết luận: Cặp số (a,b,c) nguyên dương thoả yêu cầu bài toán là:

\(\left(1,1,3\right);\left(2,3,1\right);\left(3,2,1\right)\)

Ta có: \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0\)

a)\(tanA+tanB+tanC=tanA+tanB-tan\left(A+B\right)=tanA+tanB-\dfrac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}=\left(tanA+tanB\right).\dfrac{-tanAtanB}{1-tanAtanB}=-\dfrac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}.tanAtanB=-tan\left(A+B\right)tanAtanB=tanCtanAtanB\)

b) \(tan\dfrac{A}{2}tan\dfrac{B}{2}+tan\dfrac{B}{2}tan\dfrac{C}{2}+tan\dfrac{C}{2}tan\dfrac{A}{2}=tan\dfrac{A}{2}tan\dfrac{B}{2}+tan\dfrac{C}{2}\left(tan\dfrac{A}{2}+tan\dfrac{B}{2}\right)=tan\dfrac{A}{2}tan\dfrac{B}{2}+cot\dfrac{A+B}{2}\left(tan\dfrac{A}{2}+tan\dfrac{B}{2}\right)=tan\dfrac{A}{2}tan\dfrac{B}{2}+\dfrac{1-tan\dfrac{A}{2}tan\dfrac{B}{2}}{tan\dfrac{A}{2}+tan\dfrac{B}{2}}\left(tan\dfrac{A}{2}+tan\dfrac{B}{2}\right)=1\)

Miễn sao bn trình bày logic là được r :)