Ta có \(a^2+b^2+4c^2=9m^2+25\equiv1\left(mod3\right)\) (1)

Lại có \(a^2,b^2,4c^2\) là các số chính phương.

Do đó \(a^2,b^2,4c^2\equiv0,1\left(mod3\right)\). (2)

Từ (1) và (2), ta có \(\left[{}\begin{matrix}a^2\equiv b^2\equiv0\left(mod3\right),4c^2\equiv1\left(mod3\right)\left(3\right)\\a^2\equiv4c^2\equiv0\left(mod3\right),b^2\equiv1\left(mod3\right)\left(4\right)\\4c^2\equiv b^2\equiv0\left(mod3\right),b^2\equiv1\left(mod3\right)\left(5\right)\end{matrix}\right.\)

Mà a,b,c là các số nguyên tố. Khi đó, ta có các TH sau :

-Xét (3) xảy ra => \(a=b=3\).Thay vào, ta có \(4c^2=9m^2+7\Rightarrow\left(2c-3m\right)\left(2c+3m\right)=7\). Đến đây bạn lập bảng xét ước là được nhá.

-Xét (4) xảy ra => \(a=c=3\). Thay vào, ta có \(b^2+20=9m^2\Rightarrow\left(3m-b\right)\left(3m+b\right)=20\). Đến đây bạn làm tương tự.

-Xét (5) xảy ra => \(b=c=3\). Thay vào, ta có \(a^2+20=9m^2\Rightarrow\left(3m-a\right)\left(3m+a\right)=20\). Đến đây bạn làm tương tự.

Ta có \(x^2+4xy-x-4y=6\Rightarrow x\left(x-1\right)+4y\left(x-1\right)=6\Rightarrow\left(x+4y\right)\left(x-1\right)=6\)

Mà x,y ∈ Z, ta có các TH sau:

- Xét \(x+4y=1,x-1=6\Rightarrow x,y\in\varnothing\)

- Xét \(x+4y=6,x-1=1\Rightarrow x=2,y=4\)

- Xét \(x+4y=2,x-1=3\Rightarrow x,y\in\varnothing\)

- Xét \(x+4y=3,x-1=2\Rightarrow x=3,y=0\)

Bạn làm tương tự với các TH < 0 là được nhá.

Vì mỗi mét vuông đất có giá 1 triệu đồng và khi bán lại có giá gấp 5 lần => Giá bán lại của 1 mét vuống đất là : \(10000000.5=5000000\left(đ\right)\)

 => Ông Bảo lã số tiền là : \(5000000-1000000=4000000\) (đ)

Mà ông Bảo lãi 400 triệu đồng => Diện tích của mảnh đất là \(400000000:4000000=100m^2\)

-Xét k = 0 => Dãy có 4 số nguyên tố.

-Xét k = 1 => Dãy có 5 số nguyên tố.

-Xét \(k\ge2\).Khi đó, ta có 2TH sau:

+)Với k lẻ, ta có \(k+1.k+3,k+5,k+7,k+9\) là các số chẵn và lớn hơn 2 => là hợp số (1)

+)Với k chẵn, ta có \(k+2,k+4,k+6,k+8,k+10\) là các số chẵn và chúng lớn hơn 2 => là hợp số (2)

=> Cả 2TH đều có 5 hợp số.

- Xét \(k⋮3\) => \(k+3,k+6,k+9\) là các số chia hết cho 3 và lớn hơn 3 => là hợp số.

+) Với TH (1) thì ta có 6 hợp số => loại

+) Với TH (2) thì ta có 6 hợp số => loại

- Xét \(k\equiv1\left(mod3\right)\) => \(k+2,k+5,k+8\) là các số chia hết cho 3 và lớn hơn 3 => là hợp số

Chứng minh tương tự, ta có (loại)

TH \(k\equiv2\left(mod3\right)\) bạn làm tương tự là được nhá.

Vậy \(k=1\)

Ta có \(p^2-2q^2=1\) => p lẻ

Khi đó, ta có \(p^2-2q^2=1\Rightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)=2q^2\).Mà p lẻ => \(\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮4\) => \(2q^2⋮4\Rightarrow q^2⋮2\).Mà q là số nguyên tố => q = 2.

Thay vào, ta có \(p^2=1+8=9\Rightarrow p=3\)

Vậy (p,q) = (3,2)

Ta có \(y^2=x^4-x^3+1\Rightarrow4y^2=4x^4-4x^3+4\) là số chính phương.

Lại có \(4x^4-4x^3+4-\left(2x^2-x-1\right)^2=4x^4-4x^3+4-\left(4x^4-4x^3-4x^2+3x+1\right)=4x^2-3x+3=4\left(x^2-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{3}{4}\right)=4\left(x-\dfrac{3}{8}\right)^2+\dfrac{39}{16}>0\)Lại có \(\left(2x^2-x+2\right)^2-\left(4x^4-4x^3+4\right)=4x^4-4x^3+9x^2-4x+4-4x^3+4x^3-4=9x^2-4x>0\)

Do đó \(\left(2x^2-x-1\right)^2< 4x^4-4x^3+4< \left(2x^2-x+2\right)^2\)

Mà \(4x^4-4x^3+4\) là số chính phương.

-Xét \(4x^4-4x^3+4=\left(2x^2-x\right)\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm2\Rightarrow y\in\left\{\pm6,\pm10\right\}\)

Tương tự bạn xét với các TH còn lại là được nhá