Ta có \(a^2+b^2+4c^2=9m^2+25\equiv1\left(mod3\right)\) (1)
Lại có \(a^2,b^2,4c^2\) là các số chính phương.
Do đó \(a^2,b^2,4c^2\equiv0,1\left(mod3\right)\). (2)
Từ (1) và (2), ta có \(\left[{}\begin{matrix}a^2\equiv b^2\equiv0\left(mod3\right),4c^2\equiv1\left(mod3\right)\left(3\right)\\a^2\equiv4c^2\equiv0\left(mod3\right),b^2\equiv1\left(mod3\right)\left(4\right)\\4c^2\equiv b^2\equiv0\left(mod3\right),b^2\equiv1\left(mod3\right)\left(5\right)\end{matrix}\right.\)
Mà a,b,c là các số nguyên tố. Khi đó, ta có các TH sau :
-Xét (3) xảy ra => \(a=b=3\).Thay vào, ta có \(4c^2=9m^2+7\Rightarrow\left(2c-3m\right)\left(2c+3m\right)=7\). Đến đây bạn lập bảng xét ước là được nhá.
-Xét (4) xảy ra => \(a=c=3\). Thay vào, ta có \(b^2+20=9m^2\Rightarrow\left(3m-b\right)\left(3m+b\right)=20\). Đến đây bạn làm tương tự.
-Xét (5) xảy ra => \(b=c=3\). Thay vào, ta có \(a^2+20=9m^2\Rightarrow\left(3m-a\right)\left(3m+a\right)=20\). Đến đây bạn làm tương tự.
