Bài tập cuối chương 1

Hướng dẫn giải

a) \(\frac{5}{{x + 2}} + \frac{3}{{x - 1}} = \frac{{3x + 4}}{{(x + 2)(x - 1)}}\)

ĐKXĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne  - 2}\\{x \ne 1}\end{array}} \right.\)

\(\frac{5}{{x + 2}} + \frac{3}{{x - 1}} = \frac{{3x + 4}}{{(x + 2)(x - 1)}}\)

\(\frac{{5\left( {x - 1} \right)}}{{(x + 2)(x - 1)}} + \frac{{3\left( {x + 2} \right)}}{{(x + 2)(x - 1)}} = \frac{{3x + 4}}{{(x + 2)(x - 1)}}\)

5(x – 1) + 3(x + 2) = 3x + 4

5x – 5 + 3x + 6 = 3x + 4

5x = 3

x = \(\frac{3}{5}\) (TMĐK)

Vậy nghiệm của phương trình là: x = \(\frac{3}{5}\).

b) \(\frac{4}{{2x - 3}} - \frac{3}{{x(2x - 3)}} = \frac{5}{x}\)

ĐKXĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0}\\{x \ne \frac{3}{2}}\end{array}} \right.\)

\(\frac{4}{{2x - 3}} - \frac{3}{{x(2x - 3)}} = \frac{5}{x}\)

\(\frac{{4x}}{{2x - 3}} - \frac{3}{{x(2x - 3)}} = \frac{{5\left( {2x - 3} \right)}}{x}\)

4x – 3 = 5(2x – 3)

4x – 3 = 10x – 15

6x = 12

x = 2 (TMĐK)

Vậy nghiệm của phương trình là: x = 2.

c) \(\frac{2}{{x - 3}} + \frac{3}{{x + 3}} = \frac{{3x - 5}}{{{x^2} - 9}}\)

ĐKXĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 3}\\{x \ne  - 3}\end{array}} \right.\)

\(\frac{2}{{x - 3}} + \frac{3}{{x + 3}} = \frac{{3x - 5}}{{{x^2} - 9}}\)

\(\frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{x - 3}} + \frac{{3\left( {x - 3} \right)}}{{x + 3}} = \frac{{3x - 5}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

2(x + 3) + 3(x – 3) = 3x – 5

2x + 6 + 3x – 9 = 3x – 5

2x = - 2

x = - 1 (TMĐK)

Vậy nghiệm của phương trình là: x = -1.

d) \(\frac{{x - 1}}{{x + 1}} - \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = \frac{8}{{{x^2} - 1}}\)

ĐKXĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 1}\\{x \ne  - 1}\end{array}} \right.\)

\(\frac{{x - 1}}{{x + 1}} - \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = \frac{8}{{{x^2} - 1}}\)

\(\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{x + 1}} - \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{x - 1}} = \frac{8}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\({\left( {x - 1} \right)^2} - {\left( {x + 1} \right)^2} = 8\)

x² – 2x + 1 – (x² + 2x + 1) = 8

-4x = 8

x = - 2 (TMĐK)

Vậy nghiệm của phương trình là: x = -2.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Gọi x và y lần lượt là số lớn và số bé cần tìm (\(x \in \mathbb{N}*;y \in \mathbb{N}*\)).

Tổng của chúng bằng 1006, nên ta có phương trình: x + y = 1006   (1)

Lấy số lớn chia cho số bé được thương là 2 và số dư là 124, nên ta có phương trình: x = 2y + 124  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 1006}\\{x - 2y = 124}\end{array}} \right.\)

Giải hệ phương trình ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 712}\\{y = 294}\end{array}} \right.\)

Vậy số lớn là 712, số bé là 294.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Ta có đường thẳng d: y = 3x – 2.

Từ đó, tất cả các nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng d: y = 3x – 2.

Quan sát đường thẳng d ta thấy d không vuông góc với trục tung và không vuông góc với trục hoành nên A và B sai.

Với x = 0 ta được y = 3.0 – 2 = -2 \( \ne \) 0 suy ra d không đi qua gốc toạ độ nên C sai.

Với x = 1 ta được y = 3.1 – 2 = 1. Vậy đường thẳng d đi qua điểm A(1;1) nên D đúng.

Đáp án D.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) (5x + 2)(2x – 7) = 0

\(\begin{array}{l}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{5x + 2 = 0}\\{2x - 7 = 0}\end{array}} \right.\\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{ - 2}}{5}}\\{x = \frac{7}{2}}\end{array}} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm là: x = \(\frac{{ - 2}}{5}\) hoặc x = \(\frac{7}{2}\).

b) \(\left( {\frac{1}{2}x + 5} \right)\left( { - \frac{2}{3}x - \frac{4}{3}} \right) = 0\)

\(\begin{array}{l}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}x + 5 = 0}\\{ - \frac{2}{3}x - \frac{4}{3} = 0}\end{array}} \right.\\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 10}\\{x =  - 2}\end{array}} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm là: x = -10 hoặc x = -2.

c) \({y^2} - 5y + 2(y - 5) = 0\)

\(\begin{array}{l}y(y - 5) + 2(y - 5) = 0\\(y - 5)(y + 2) = 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y - 5 = 0}\\{y + 2 = 0}\end{array}} \right.\\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 5}\\{y =  - 2}\end{array}} \right.\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là y = -2 hoặc y = 5

d) \(9{x^2} - 1 = (3x - 1)(2x + 7)\)

\(\begin{array}{l}9{x^2} - 1 = (3x - 1)(2x + 7)\\(3x - 1)(3x + 1) - (3x - 1)(2x + 7) = 0\\(3x - 1)(3x + 1 - 2x - 7) = 0\\(3x - 1)(x - 6) = 0\\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x - 1 = 0}\\{x - 6 = 0}\end{array}} \right.\\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{3}}\\{x = 6}\end{array}} \right.\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là x = 6 hoặc x = \(\frac{1}{3}\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Cặp số (-2;-3) không là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2y = 3}\\{2x + y = 4}\end{array}} \right.\) vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( { - 2} \right) - 2.\left( { - 3} \right) = 4 \ne 3}\\{2\left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right) =  - 7 \ne 4}\end{array}} \right.\).

Cặp số (-2;-3) không là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - y =  - 1}\\{x - 3y = 8}\end{array}} \right.\) vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2.\left( { - 2} \right) - \left( { - 3} \right) =  - 1}\\{\left( { - 2} \right) - 3.\left( { - 3} \right) = 7 \ne 8}\end{array}} \right.\).

Cặp số (-2;-3) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - y =  - 1}\\{x - 3y = 7}\end{array}} \right.\) vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2.\left( { - 2} \right) - \left( { - 3} \right) =  - 1}\\{\left( { - 2} \right) - 3.\left( { - 3} \right) = 7}\end{array}} \right.\).

Cặp số (-2;-3) không là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x - 2y = 0}\\{x - 3y = 5}\end{array}} \right.\) vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4.\left( { - 2} \right) - 2.\left( { - 3} \right) =  - 2 \ne 0}\\{ - 2 - 3.\left( { - 3} \right) = 7 \ne 5}\end{array}} \right.\).

Đáp án C.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Đáp án D vì a = b = 0.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

\(\frac{{2x + 3}}{{x - 4}} + 2 = \frac{1}{{x - 3}}\)

ĐKXĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 4 \ne 0}\\{x - 3 \ne 0}\end{array}} \right.\) suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 4}\\{x \ne 3}\end{array}} \right.\)

Đáp án C.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

(x + 3)(2x – 6) = 0

x + 3 = 0 hoặc 2x – 6 = 0

suy ra x = -3 hoặc x = 3

Đáp án C

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

\(\frac{{x + 2}}{{x - 4}} - 1 = \frac{{30}}{{(x + 3)(x - 4)}}\)

ĐKXĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 4}\\{x \ne  - 3}\end{array}} \right.\)

(x + 2)(x + 3) – (x + 3)(x – 4) = 30

(x + 3)(x + 2 – x + 4) = 30

(x + 3).6 = 30

x + 3 = 5

x = 2 (TMĐK)

Vậy nghiệm của phương trình là x = 2.

Đáp án A.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + 2y = 7}\\{x - 7y =  - 13}\end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3.( - 13 + 7y) + 2y = 7}\\{x =  - 13 + 7y}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{23y = 46}\\{x =  - 13 + 7y}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 2}\\{x = 1}\end{array}} \right.\end{array}\)

Vậy nghiệm duy nhất của hệ phương trình là (1;2)

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x + y = 2}\\{8x + 3y = 5}\end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 2 - 4x}\\{8x + 3.(2 - 4x) = 5}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 2 - 4x}\\{ - 4x =  - 1}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 1}\\{x = \frac{1}{4}}\end{array}} \right.\end{array}\)

Vậy nghiệm duy nhất của hệ phương trình là \(\left( {\frac{1}{4};1} \right)\).

c) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5x - 4y = 3}\\{2x + y = 4}\end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5x - 4.(4 - 2x) = 3}\\{y = 4 - 2x}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{13x = 19}\\{y = 4 - 2x}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{19}}{{13}}}\\{y = \frac{{14}}{{13}}}\end{array}} \right.\end{array}\)

Vậy nghiệm duy nhất của hệ phương trình là \(\left( {\frac{{19}}{{13}};\frac{{14}}{{13}}} \right)\)

d) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x - 2y = 10}\\{x - \frac{2}{3}y = 3\frac{1}{3}}\end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x - 2y = 10}\\{x = 3\frac{1}{3} + \frac{2}{3}y = \frac{{10}}{3} + \frac{2}{3}y}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3.\left( {\frac{{10}}{3} + \frac{2}{3}y} \right) - 2y = 10}\\{x = 3\frac{1}{3} + \frac{2}{3}y = \frac{{10}}{3} + \frac{2}{3}y}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3.\left( {\frac{{10}}{3} + \frac{2}{3}y} \right) - 2y = 10}\\{x = \frac{{10}}{3} + \frac{2}{3}y}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0y = 0}\\{x = \frac{{10}}{3} + \frac{2}{3}y}\end{array}} \right.\end{array}\)

Phương trình 0y = 0 nghiệm đúng với mọi x\( \in \mathbb{R}\).

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm. Các nghiệm của hệ được viết như sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y \in \mathbb{R}}\\{x = \frac{{10}}{3} + \frac{2}{3}y}\end{array}} \right.\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)