Bài 6: Ôn tập chương Tổ hợp - Xác suất

1. Quy tắc cộng

Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất cứ cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện.

Quy tắc cộng ở trên thực chất là qui tắc đếm số phần từ của hợp hai tập hợp hữu hạn không giao nhau:

Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn không giao nhau thì:

                 \(m\left(A\cup B\right)=m\left(A\right)+m\left(B\right)\).

Chú ý: Quy tắc có thể mở rộng cho nhiều hành động (hoặc tập hợp).

Quy tắc nhân: Một công việc phải được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp nhau. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó lại có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.

Chú ý: Quy tắc nhân có cho nhiều hành động liên tiếp.

2. Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

a) Hoán vị

- Định nghĩa: Cho tập hợp A có n \(\left(n\ge1\right)\) phần tử.

  Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự \(n\) phần tử của tập hợp \(A\) được một hoán vị của \(n\) phần tử đó.

- Nhận xét: Hai hoán vị của \(n\) phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp.

                   Chẳng hạn, hai hoán vị \(abc\) và \(acb\) của ba phần tử \(a,b,c\) là khác nhau.

- Số các hoán vị:

Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử, kí hiệu là \(P_n\):

           \(P_n=n!=n.\left(n-1\right)...2.1\)

b) Chỉnh hợp

- Định nghĩa: Cho tập hợp \(A\) gồm \(n\) phần tử (\(n\ge1\)) và số nguyên \(k\) với \(1\le k\le n\).

Kết quả của việc lấy \(k\) phần tử khác nhau từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\) và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử đã cho.

- Nhận xét: Hai chỉnh hợp khác nhau khi và chi khi có một phần tử của chỉnh hợp này mà không phải của chỉnh hợp kia, hoặc phần tử của hai chỉnh hợp giống nhau nhưng được sắp xếp theo thứ tự khác nhau.

- Cách tính số các chỉnh hợp:

Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử, kí hiệu \(A_n^k\) \(\left(1\le k\le n\right)\)
       \(A_n^k=n.\left(n-1\right)\left(n-2\right)...\left(n-k+1\right)\)     (1)

Chú ý: Với  \(0< k< n\) , với quy ước \(0!=1\) thì ta có thể viết công thức (1) dưới dạng:

                                   ${\displaystyle <span\; class="math-q">\backslash (A\_n^k=\backslash dfrac\{n!\}\{\backslash left(n-k\backslash right)!\}\backslash )</span>}$$$            (2)        

Khi đó công thức (2) đúng cho cả \(k=0\) và \(k=n\). Vậy công thức (2) đúng với mọi số nguyên \(k\) thỏa mãn  \(0\le k\le n\).

Nhận xét: Một chỉnh hợp chập n của n phần tử chính là một hoán vị của n phần tử.

                 Do vậy: \(A^n_n=P_n=n!\)

c) Tổ hợp

- Định nghĩa:
Cho tập \(A\) có \(n\) phần tử \(\left(n\ge1\right)\) và số nguyên \(k\). Một tập con của \(A\) có \(k\) phần tử được gọi là một tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử của \(A\) (gọi tắt là một tổ hợp chập \(k\) của \(A\)).

Như vậy lập một tổ hợp chập \(k\)$$của \(A\) chính là lấy ra \(k\)$$phần tử của \(A\) (không quan tâm đến thứ tự).

Chú ý: Số \(k\) trong định nghĩa cần thoả mãn điều kiện \(1\le k\le n\). Tuy nhiên tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng nên 1a quy ước gọi tổ hợp chập 0 của \(n\) phần tử là tập rỗng.

- Cách tính số các tổ hợp:

Kí hiệu số tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là \(C^k_n\)  hoặc \(\left(\dfrac{n}{k}\right)\)thì ta có:

    \(C_n^k=\dfrac{A^k_n}{k!}=\dfrac{n!}{k!\left(n-k\right)!}\)

Số các tổ hợp chập \(k\) của một tập hợp có n phần tử  là 

     \(C_n^k=\dfrac{A_n^k}{k!}=\dfrac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)......\left(n-k+1\right)}{k!}\)

d) Hai tính chất cơ bản của số \(C^k_n\)

- Tính chất 1: Cho số nguyên dương \(n\) và số nguyên \(k\) với \(0\le k\le n\). Khi đó:

          \(C^k_n=C^{n-k}_n\)

Chẳng hạn: \(C^3_7=C^4_7=35\).

- Tính chất 2 (hằng đẳng thức Pa-xcan):

Cho các số nguyên \(n\) và \(k\) với \(1\le k\le n\). Khi đó :

          \(C^{k-1}_{n-1}+C^k_{n-1}=C^k_n\)

Chẳng hạn: \(C^3_7+C^4_7=C^4_8=70\)

Chú ý: Để phân biệt sự khác nhau giữa số chỉnh hợp với số tổ hợp, ta chỉ cần lưu ý đển nhận xét sau :

-Tổ hợp là cách chọn k phần tử trong n phần tử mà "không quan tâm" đến thứ tự sắp xếp

- Chỉnh hợp là cách chọn k phần tử trong n phần  tử và "có quan tâm" đến thứ tự sắp xếp. Việc phân biệt lúc nào sử dụng số chỉnh hợp, lúc nào sử dụng số tổ hợp là rất quan trọng. 

e) Vài tính chất quan trọng của số chỉnh hợp, số tổ hợp

Cho \(0\le k\le n\) với \(k,n\) là các số tự nhiên (trong đó \(n>0\)). Khi đó ta có :

1) \(C_n^k=\dfrac{A_n^k}{P_k}\)

2) \(C_n^k=C_n^n=1;A_n^0=1\)

3) \(C_n^k=C_n^{n-k}\)

4) \(C_n^k=C_{n-1}^k+C_{n-1}^{k-1}\), (đúng với mọi \(n\ge k\ge1\))

3. Nhị thức Niu-tơn

- Công thức Nhị thức Niu-tơn:

 \(\left(a+b\right)^n=C^0_na^n+C^1_na^{n-1}b+...+C^k_na^{n-k}b^k+...+C^{n-1}_nab^{n-1}+C^n_bb^n\)       (1)

Định lý này ta thừa nhận (không chứng minh).

Ví dụ:  

     \(\left(a+b\right)^2=C^0_2a^2+C^1_2a.b+C^2_2b^2=a^2+2ab+b^2\)

     \(\left(a+b\right)^3=C^0_3a^3+C^1_3a^2b+C^2_3ab^2+C^3_3b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)

Hệ quả:

    - Với \(a=b=1\), ta có \(2^n=C^0_n+C^1_n+...+C^n_n\)

    - Với \(a=1,b=-1\) ta có \(0=C^0_n-C^1_n+...+\left(-1\right)^kC^k_n+...+\left(-1\right)^nC^n_n\)

Chú ý: Trong biểu thức ở vế phải của công thức (1):

    - Số các hạng tử là \(n+1\)  ;

    - Các hạng tử có số mũ của \(a\) giảm dần từ \(n\) đến 0, số mũ của \(b\) tăng dần từ 0 đến \(n\), những tổng các số mũ của \(a\) và \(b\) trong mỗi hạng tử luôn bằng \(n\)  ;

    - Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.

    - Với một nhị thức có phép trừ, định lý có thể được áp dụng khi chuyển phép trừ thành phép cộng với số đối, ví dụ:

    \(\left(a-b\right)^3=\left[a+\left(-b\right)\right]^3=a^3+3a^2\left(-b\right)+3a\left(-b\right)^2+\left(-b\right)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)

- Tam giác Pa-xcan:

Trong nhị thức Niu-tơn (1) ở trên, cho \(n=0;1;2;...\) và xếp các hệ số \(C^k_n\) thành dòng, ta nhận được tam giác sau (còn gọi là tam giác Pa-xcan):

Trong tam giác trên, mỗi phần tử ở dòng dưới bằng tổng của hai phần tử đứng ngay trên đầu nó ở dòng trên, ví dụ dòng ứng với \(n=5\), số 10 trong dòng này bằng tổng của 2 số 4 và 6 ở dòng \(n=4\). Ta có cách làm này là do tính chất \(C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C^k_{n-1}\)

Ví dụ: \(C^2_5=C^1_4+C^2_4=4+6=10\)

Nhờ tam giác Pa-xcan mà ta có thể triển khai lũy thừa bậc \(n\) của tổng hai số một cách dễ dàng mà không cần phải tính \(C^k_n\). Ví dụ:

   \(\left(a+b\right)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6\)

4. Phép thử và biến cố

a) Phép thử

- Định nghĩa: Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.

- Không gian mẫu: Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là \(\Omega\) (đọc là ô-mê-ga).

Ví dụ: Gieo một đồng tiền. Đó là một phép thử có không gian mẫu là \(\Omega=\left\{N,S\right\}\).

b) Biến cố

- Định nghĩa: Biến cố là một tập con của không gian mẫu.

Khi nói cho các biến cố \(A,B,...\) mà không nói gì thêm thì ta hiểu chúng cùng liên quan đến một phép thử.

- Tập \(\varnothing\) được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không). Còn tập \(\Omega\) được gọi là biến cố chắc chắn.

Chẳng hạn, khi gieo một con súc sắc, biến cố "Xuất hiện mặt 7 chấm" là một biến cố không, còn biến cố "Xuất hiện mặt có số chấm không vượt quá 6" là biến cố chắc chắn.

Ta nói rằng biến cố \(A\) xảy ra trong một phép thử nào đó khi và chỉ khi  kết quả của phép thử đó là một phần tử của \(A\) (hay thuận lợi cho \(A\)).

c) Phép toán trên các biến cố

- Giả sử \(A\) là biến cố liên quan đến một phép thử.

Tập \(\Omega\)\\(A\) được gọi là biến cố đối của biến cố \(A\), kí hiệu là \(\overline{A}\).

Do \(\omega\in\overline{A}\Leftrightarrow\omega\notin A\)  nên \(\overline{A}\) xảy ra khi và chỉ khi \(A\) không xảy ra.

- Giả sử \(A\) và \(B\) là hai biến cố liên quan đến một phép thử. ta có định nghĩa sau:

   Tập \(A\cup B\) được gọi là hợp của biến cố ​\(A\) và \(B\).

   Tập ​\(A\cap B\) được gọi là giao của biến cố ​\(A\) và \(B\), còn được viết là \(A.B\).

   Nếu \(A\cap B=\varnothing\) thì ta nói \(A\) và \(B\) xung khắc.

Biến cố \(A\) và \(B\) xung khắc khi và chỉ khi chúng không khi nào đồng thời xảy ra.

5. Xác suất của biến cố

a) Định nghĩa

Giả sử \(A\) là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số \(\dfrac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}\) là xác suất của biến cố \(A\), và được kí hiệu là \(P\left(A\right)\)

                \(P\left(A\right)=\dfrac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}\)

Trong đó \(n\left(A\right)\) là số phần tử của \(A\), hay là số các kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\), còn \(n\left(\Omega\right)\) là số phần tử của \(\Omega\) hay là số các kết quả có thể có của phép thử.

Ví dụ 1: Cho phép thử "Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất", hãy tìm xác suất của các biến cố sau:

a) \(A\) : "xuất hiện mặt chẵn"

b) \(B\) : "xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3"

c) \(C\) : "xuất hiện mặt 7 chấm"

Giải:

  Ta có không gian mẫu là: \(\Omega=\left\{1;2;3;4;5;6\right\}\), \(n\left(\Omega\right)=6\)

a) \(A\): "xuất hiện mặt chẵn" hay \(A=\left\{2;4;6\right\}\), suy ra \(n\left(A\right)=3\).

Vậy \(P\left(A\right)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\)

b) \(B\): "xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3" hay \(B=\left\{3;6\right\}\), suy ra \(n\left(B\right)=2\).

Vậy \(P\left(B\right)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\)

c) \(C\): "xuất hiện mặt 7 chấm" hay \(C=\varnothing\), suy ra \(n\left(C\right)=\varnothing\).

Vậy \(P\left(C\right)=\dfrac{0}{6}=0\)

b) Tính chất của xác suất

Giả sử \(A\) và \(B\) là các biến cố liên quan đến một phép thử có số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. 

Định lí:

    a) \(P\left(\varnothing\right)=0;P\left(\Omega\right)=1\) ;

    b) \(0\le P\left(A\right)\le1\) với mọi biến cố \(A\) ;

    c) Nếu \(A\) và \(B\) xung khắc (tức \(A\cap B=\varnothing\)) thì \(P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)\)  (công thức cộng xác suất)

Hệ quả: Với mọi biến cố \(A\) ta có: \(P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)\)

Ví dụ 2: Một hộp chứa 20 quả cầu đánh số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên 1 quả. Tính xác suất của các biến cố:

a) \(A\): "Nhận được quả cầu ghi số chẵn"

b) \(B\): "Nhận được quả cầu chia hết cho 3"

c) \(A\cap B\)

d) \(C\): "Nhận được quả cầu ghi số không chia hết cho 6"

Giải:

Không gian mẫu là \(\Omega=\left\{1,2,3,...,20\right\}\) gồm 20 phần tử, hay \(n\left(\Omega\right)=20\)

a) \(A\): "Nhận được quả cầu ghi số chẵn"

hay \(A=\left\{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20\right\}\) suy ra \(n\left(A\right)=10\)

Nên \(P\left(A\right)=\dfrac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}=\dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}\)

b) \(B\): "Nhận được quả cầu chia hết cho 3"

hay \(B=\left\{3;6;9;12;15;18\right\}\) suy ra \(n\left(B\right)=6\)

Nên \(P\left(B\right)=\dfrac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega\right)}=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}\)

c) Vì \(A\cap B=\left\{6;12;18\right\}\) suy ra \(n\left(A\cap B\right)=3\)

Nên \(P\left(A\cap B\right)=\dfrac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(\Omega\right)}=\dfrac{3}{20}\)

d) Vì \(A\cap B=\left\{6;12;18\right\}\) nên \(A\cap B\) là biến cố: "Nhận được quả cầu ghi số chia hết cho 6"

Do đó \(C\) là biến cố đối của biến cố \(A\cap B\) hay \(C=\overline{A\cap B}\)

Nên \(P\left(C\right)=1-P\left(A\cap B\right)=1-\dfrac{3}{20}=\dfrac{17}{20}\)

c) Các biến cố độc lập. Công thức nhân xác suất

Tổng quát ta có: \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi

      \(P\left(A.B\right)=P\left(A\right).P\left(B\right)\)

Ví dụ 3: Cho phép thử "Gieo một đồng tiền rồi sau đó gieo con súc sắc". Tính xác suất các biến cố sau:

a) \(A\): "Đồng tiền xuất hiện mặt sấp"

b) \(B\): "Súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm"

c) \(C\): "Đồng tiền xuất hiện mặt sấp và Súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm".

Giải:

Không gian mẫu là \(\Omega\) = {S1, S2, S3, S4, S5, S6, N1, N2, N3, N4, N5, N6} ; \(n\left(\Omega\right)=12\)

a) \(A\): "Đồng tiền xuất hiện mặt sấp" hay \(A=\left\{S1,S2,S3,S4,S5,S6\right\}\), suy ra \(n\left(A\right)=6\) 

\(\Rightarrow P\left(A\right)=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}\)

b) \(B\): "Súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm" hay \(B=\left\{S6,N6\right\}\) suy ra \(n\left(B\right)=2\)

\(\Rightarrow P\left(B\right)=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}\)

c) \(C\): "Đồng tiền xuất hiện mặt sấp và Súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm" hay \(C=\left\{S6\right\}\) suy ra \(n\left(C\right)=1\) \(\Rightarrow P\left(C\right)=\dfrac{1}{12}\)