Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Hướng dẫn giải

a) Xét \(y = \frac{{4x - 5}}{{2x - 3}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{3}{2}} \right\}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{2}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{2}}^ + }} \frac{{4x - 5}}{{2x - 3}} =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{2}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{2}}^ - }} \frac{{4x - 5}}{{2x - 3}} =  - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{4x - 5}}{{2x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{4 - \frac{5}{x}}}{{2 - \frac{3}{x}}} = 2\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{4x - 5}}{{2x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{4 - \frac{5}{x}}}{{2 - \frac{3}{x}}} = 2\)

Vậy đường thẳng x = \(\frac{3}{2}\) và y = 2 lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

b) Xét \(y = \frac{{ - 2x + 7}}{{4x - 3}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{3}{4}} \right\}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{4}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{4}}^ + }} \frac{{ - 2x + 7}}{{4x - 3}} =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{4}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{4}}^ - }} \frac{{ - 2x + 7}}{{4x - 3}} =  - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 2x + 7}}{{4x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 2 + \frac{7}{x}}}{{4 - \frac{3}{x}}} =  - \frac{1}{2}\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - 2x + 7}}{{4x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - 2 + \frac{7}{x}}}{{4 - \frac{3}{x}}} =  - \frac{1}{2}\)

Vậy đường thẳng x = \(\frac{3}{4}\) và y = \( - \frac{1}{2}\) lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

c) Xét \(y = \frac{{5x}}{{3x - 7}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{7}{3}} \right\}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{7}{3}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{7}{3}}^ + }} \frac{{5x}}{{3x - 7}} =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{7}{3}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{7}{3}}^ - }} \frac{{5x}}{{3x - 7}} =  - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{5x}}{{3x - 7}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{5}{{3 - \frac{7}{x}}} = \frac{5}{3}\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{5x}}{{3x - 7}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{5}{{3 - \frac{7}{x}}} = \frac{5}{3}\)

Vậy đường thẳng x = \(\frac{7}{3}\) và y = \(\frac{5}{3}\) lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Xét \(y = \frac{{{x^2} + 2}}{{2x - 4}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {2} \right\}\)

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{2}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{2}^ + }} \frac{{{x^2} + 2}}{{2x - 4}} =  + \infty \). \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{2}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{2}^ - }} \frac{{{x^2} + 2}}{{2x - 4}} =  - \infty \).

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - \left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\frac{1}{2}x + 1 + \frac{6}{{2x - 4}} - \left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{6}{{2x - 4}} = 0.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {y - \left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {\frac{1}{2}x + 1 + \frac{6}{{2x - 4}} - \left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{6}{{2x - 4}} = 0.\)

Vậy \(x = 2\) là tiệm cận đứng, \(y = \frac{1}{2}x + 1\) là tiệm cận xiên của đồ thị.

b) Xét \(y = \frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{x + 2}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\)

Ta có:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} \frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{x + 2}} =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{x + 2}} =  - \infty \)

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{{x^2} + 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2 - \frac{3}{x} - \frac{6}{{{x^2}}}}}{{1 + \frac{2}{x}}} = 2\)

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } (y - ax) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } (\frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{x + 2}} - 2x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - 7x - 6}}{{x + 2}} = \frac{{ - 7 - \frac{6}{x}}}{{1 + \frac{2}{x}}} =  - 7\)

Vậy đường thẳng x = -2 và y = \(2x - 7\) lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

c) Xét \(y = \frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2x + 5}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{5}{2}} \right\}\)

Ta có:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{5}{2}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{5}{2}}^ + }} \frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2x + 5}} =  + \infty \). \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{5}{2}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{5}{2}}^ - }} \frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2x + 5}} =  - \infty \).

\(y = \frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2x + 5}} = x + 2 + \frac{1}{{2x + 5}}\).

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {x + 2 + \frac{1}{{2x + 5}} - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{2x + 5}} = 0.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {y - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {x + 2 + \frac{1}{{2x + 5}} - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{1}{{2x + 5}} = 0.\)

Vậy đồ thị có tiệm cận đứng là \(x =  - \frac{5}{2}\), tiệm cận xiên là \(y = x + 2.\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Xét \(f(x) = \frac{{x - 1}}{{4x + 1}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{4}} \right\}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x - 1}}{{4x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{1 - \frac{1}{x}}}{{4 + \frac{1}{x}}} = \frac{1}{4}\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{x - 1}}{{4x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{1 - \frac{1}{x}}}{{4 + \frac{1}{x}}} = \frac{1}{4}\)

Vậy đường thẳng \(y = \frac{1}{4}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

b) Xét \(g(x) = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\)

Tập xác định: \(D = [0; + \infty )\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{1 + \frac{2}{{\sqrt x }}}} = 1\)

Vậy đường thẳng \(y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} C(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{50x + 2000}}{x} = \frac{{2000}}{0} =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} C(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{50x + 2000}}{x} = \frac{{2000}}{0} =  + \infty \)

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng x = 0

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } C(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{50x + 2000}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{50 + \frac{{2000}}{x}}}{1} = 50\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } C(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{50x + 2000}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{50 + \frac{{2000}}{x}}}{1} = 50\)

Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng y = 50

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } (\frac{{{x^2} + 1}}{x} - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{x^2} + 1 - {x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{1}{x} = 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (\frac{{{x^2} + 1}}{x} - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} + 1 - {x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{x} = 0\)

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng y = x

b) MN = y – x = \(\frac{{{x^2} + 1}}{x} - x = \frac{1}{x}\)

Khi \(x \to  + \infty \) hoặc \(x \to  - \infty \) thì MN tiến dần về 0

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Từ đồ thị ta thấy:

Khi \(x \to  + \infty \)thì y tiến dần đến \(1\), vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty }  = \frac{{x + 1}}{x} = 1\)

Khi \(x \to  - \infty \)thì y tiến dần đến \(1\), vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty }  = \frac{{x + 1}}{x} = 1\)

b) MN = y – 1 = \(\frac{{x + 1}}{x} - 1 = \frac{1}{x}\)

Khi \(x \to  + \infty \) hoặc \(x \to  - \infty \) thì MN tiến dần về 0

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Từ đồ thị ta thấy:

Khi x tiến dần tới 1 về bên phải thì y tiến dần đến \( + \infty \), vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }}  = \frac{1}{{x - 1}} =  + \infty \)

Khi x tiến dần tới 1 về bên trái thì y tiến dần đến \( - \infty \), vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }}  = \frac{1}{{x - 1}} =  - \infty \)

b) MN = x – 1

Khi \(x \to {1^ + }\) thì MN tiến dần về \( + \infty \) và khi \(x \to {1^ - }\) thì MN tiến dần về \( - \infty \)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Dựa vào đồ thị ta có:

Khi hạt di chuyển với tốc độ càng gần tốc độ ánh sáng thì khối lượng của hạt tiến gần tới vô cùng.

Trên hình điều này được thể hiện đường cong biểu diễn m(v) sẽ tiến dần đến vô cùng khi v → c. Điều này cho thấy rằng khối lượng của hạt sẽ tăng tới vô cùng khi tốc độ di chuyển của nó tiến gần tốc độ ánh sáng.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Xét \(f(x) = \frac{{2x + 3}}{{ - x + 5}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 5\} \)

Ta có: \(\mathop {\lim f(x) = }\limits_{x \to {5^ - }} \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} \frac{{2x + 3}}{{ - x + 5}} =  + \infty \), \(\mathop {\lim f(x) = }\limits_{x \to {5^ + }} \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} \frac{{2x + 3}}{{ - x + 5}} =  - \infty \)

Vậy đường thẳng x = 5 là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

b) Xét \(g(x) = \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 1}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 1\} \)

Ta có: \(\mathop {\lim g(x) = }\limits_{x \to {1^ - }} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 1}} =  + \infty \), \(\mathop {\lim g(x) = }\limits_{x \to {1^ + }} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 1}} =  - \infty \)

Vậy đường thẳng x = 1 là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 5} \right\}\)

Ta có: \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\frac{{2{x^2} - 3x}}{{x + 5}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2{x^2} - 3x}}{{{x^2} + 5x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2 - \frac{3}{x}}}{{1 + \frac{5}{x}}} = 2\)

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (y - ax) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (\frac{{2{x^2} - 3x}}{{x + 5}} - 2x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 13x}}{{x + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 13}}{{1 + \frac{5}{x}}} =  - 13\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } [y - (ax + b)] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } [y - (2x - 3)] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2{x^2} - 3x}}{{x + 5}} - (2x - 13) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{65}}{{x + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\frac{{65}}{x}}}{{1 + \frac{5}{x}}} = 0\)

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng y = 2x - 13

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)