Bài 6: Ôn tập chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Đặt \(2^{cotx}=t\Rightarrow t\in(-\infty;1]\)

Để ý rằng \(cotx\) nghịch biến trên khoảng đã cho nên \(f\left(x\right)\) đồng biến \(\Leftrightarrow f\left(t\right)=t^3+\left(m-3\right)t+3m-2\) nghịch biến trên \((-\infty;1]\)

Quy về 1 bài toán đồng biến - nghịch biến bình thường của hàm bậc 3

Ủa, ngáo rồi, đặt \(2^{cotx}=t\) chứ có phải \(cotx=t\) đâu, vậy \(t\in(0;2]\) mới đúng (cách làm vẫn y như trên, chỉ khác khoảng của t)

Bạn tham khảo:

Có bao nhiêu nghiệm nguyên m để hàm số f(x)= m(2020 x-2cosx) sinx -x nghịch biến trên R A .vô số B.2 C.1 D.0 - Hoc24

\(y'=-3.\dfrac{1}{3}.\cos^2x.\sin x+\dfrac{4}{\sin^2x}+\left(m+1\right)\sin x=\left(\sin^2-1\right)\sin x+\dfrac{4}{\sin^2x}+m.\sin x+\sin x\)

\(=\sin^3x+\dfrac{4}{\sin^2x}+m.\sin x\)

y đồng biến trên khoảng \(\left(0;\pi\right)\)  \(\Leftrightarrow y'\ge0,\forall x\in\left(0;\pi\right)\)

\(\Leftrightarrow\sin^3x+\dfrac{4}{\sin^2x}+m.\sin x\ge0\Leftrightarrow\sin^2x+\dfrac{4}{\sin^3x}\ge-m\)

\(f\left(x\right)=\sin^2x+\dfrac{4}{\sin^3x}\Rightarrow f'\left(x\right)=2.\sin x.\cos x-\dfrac{12\cos x}{\sin^4x}=2\cos x.\left(\sin x-\dfrac{6}{\sin^4x}\right)\)

\(f'\left(x\right)=0\Rightarrow2\cos x\left(\sin x-\dfrac{6}{\sin^4x}\right)=0\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}\in\left[0;\pi\right]\)

\(\Rightarrow\sin^2x+\dfrac{4}{\sin^3x}\ge-m\Leftrightarrow-m\le min_{x\in\left(0;\pi\right)}f\left(x\right)\)

\(\Leftrightarrow m\ge-5\Rightarrow m\in\left\{-5;-4;-3;-2;-1\right\}\)

Có 5 giá trị m t/m

P/s: Mới học đạo hàm nên thử sức xí :v

- Với \(m=0\) thỏa mãn

- Với \(-2\left(4m-1\right)\ge0\Rightarrow m\le\dfrac{1}{4}\) hàm đồng biến trên \(\left(0;+\infty\right)\) thỏa mãn

- Xét với \(m>\dfrac{1}{4}\)

\(y'=4m^2x^3-4x\left(4m-1\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=\dfrac{\sqrt{4m-1}}{m}\\x=-\dfrac{\sqrt{4m-1}}{m}\end{matrix}\right.\)

Do \(a=m^2>0\) nên hàm đồng biến trên các khoảng \(\left(-\dfrac{\sqrt{4m-1}}{m};0\right)\) và \(\left(\dfrac{\sqrt{4m-1}}{m};+\infty\right)\)

\(\Rightarrow\) Hàm đồng biến trên khoảng đã cho khi và chỉ khi:

\(\dfrac{\sqrt{4m-1}}{m}\ge1\Rightarrow4m-1\ge m^2\)

\(\Leftrightarrow m^2-4m+1\le0\Rightarrow2-\sqrt{3}\le m\le2+\sqrt{3}\)

Vậy \(\left[{}\begin{matrix}m\le\dfrac{1}{4}\\2-\sqrt{3}\le m\le2+\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

** Bạn lưu ý lần sau viết đề bằng công thức toán để được hỗ trợ tốt hơn.

Lời giải:

Đặt $f(x)=x^3-3x^2-m$

$f'(x)=3x^2-6x=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=2$

Để PT $f(x)=0$ có 3 nghiệm phân biệt thì:

$f(0).f(2)<0\Leftrightarrow -m(-4-m)<0$

$\Leftrightarrow -4< m< 0$

ĐKXĐ: \(x\ge1\)

\(3\sqrt[]{x-1}+m\sqrt[]{x+1}=2\sqrt[4]{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt[]{\dfrac{x-1}{x+1}}+m=2\sqrt[4]{\dfrac{x-1}{x+1}}\)

Đặt \(\sqrt[4]{\dfrac{x-1}{x+1}}=t\Rightarrow0\le t< 1\)

\(\Rightarrow3t^2+m=2t\Leftrightarrow-3t^2+2t=m\)

Xét \(f\left(t\right)=-3t^2+2t\) trên \([0;1)\)

\(f'\left(t\right)=-6t+2=0\Rightarrow t=\dfrac{1}{3}\)

\(f\left(0\right)=0;f\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{3};f\left(1\right)=-1\)

\(\Rightarrow-1< f\left(t\right)\le\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow-1< m\le\dfrac{1}{3}\)

Chọn C