Bài 4: Đường tiệm cận

Xét \(M\left(m;1+\frac{5}{m-3}\right)\) thuộc đồ thị đã cho 

Theo yêu cầu bài tài <=> \(\left|m-3\right|=\left|\frac{5}{m-3}\right|\Leftrightarrow m=3\pm\sqrt{5}\)

Vậy \(M\left(3\pm\sqrt{5};1\pm\sqrt{5}\right)\)

40^0

Hai tiêm cận của đồ thị là: y= -3 và x=2m

\(S=\left|2m\cdot\left(-3\right)\right|=1\Rightarrow m=\pm\dfrac{1}{6}\)

\(f\left(x\right)=\dfrac{\sqrt{2-x}}{x^2-4}=\dfrac{\sqrt{2-x}}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

Tiệm cận đứng x=\(\pm2\)

Tiệm cận ngang \(\lim\limits_{x\rightarrow vc}f\left(x\right)\rightarrow0\) Tìm cận ngang y=0

không có tim cận xiên

Lời giải:

Bài 1:

Để ĐTHS \(y=\frac{ax+2}{x-b}\) có tiệm cận ngang \(y=2\) thì cần \(a=2\)

Khi đó \(y=\frac{2x+2}{x-b}\) \(\)

Vì ĐTHS đi qua điểm \(M(2,2)\Rightarrow 2=\frac{4+2}{2-b}\Rightarrow b=-1\)

Ta có \(y=\frac{2x+2}{x+1}=2\) (thỏa mãn đkđb)

Vậy \(a=2,b=-1\)

Bài 2:

Dựa vào định nghĩa , nếu \(\lim_{x\rightarrow \infty}y=t\) thì \(y=t\) là tiệm cận ngang của ĐTHS ($x$ tiến đến âm, dương vô cùng)

Như vậy:

Nếu \(m>0\) thì hàm số xác định với mọi \(x\in\mathbb{R}\), khi đó \(\frac{1}{\sqrt{m}}\) chính là TCN của ĐTHS

Nếu \(m=0\Rightarrow y=x+1\) là hàm đa thức hiển nhiên không có TCN

Nếu \(m<0\) thì hàm số xác định chỉ trong một khoảng nào đó của $x$, khi đó ĐTHS hiển nhiên không có TCN.

Vậy \(m\leq 0\)

Lời giải:

Xét thấy bậc của hàm số trên tử nhỏ hơn bậc của hàm số dưới mẫu, do đó đồ thị hàm số luôn có 1 TCN \(y=0\)

Khi đó, để ĐTHS có 3 đường tiệm cận thì nó phải có thêm 2 TCĐ

Thấy \(x^3+mx^2=x^2(x+m)\). Để có 2 TCĐ thì trước tiên phương trình trên phải có 2 nghiệm phân biệt, do đó \(m\neq 0\)

Khi đó, PT có hai nghiệm \(x=0,x=-m\). Để tồn tại hai nghiệm này thì :\(\left\{\begin{matrix} 0^2-3m+2\neq 0\\ (-m)^2-3m+2\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\neq \frac{2}{3}\\ (m-1)(m-2)\neq 0\Leftrightarrow m\neq 1,2\end{matrix}\right.\)

Từ những điều trên suy ra \(m\in \left\{3;4;5\right\}\)

Lời giải:

Trước tiên, ta tìm được đồ thị hàm số $y$ có hai tiệm cận:

\(\bullet\) Tiệm cận đứng \(x=0\) (trục tung \(Oy\))

\(\bullet\) Tiệm cận xiên \(y=3-x\) \((d)\)

Xét hàm \(y=-x+\frac{1}{x}+3\Rightarrow y'=-1-\frac{1}{x^2}\)

Gọi \(a\) là hoành độ tiếp điểm. Khi đó, PT tiếp tuyến là:

\(y=\left ( -1-\frac{1}{a^2} \right )(x-a)-a+\frac{1}{a}+3\)

\(\Leftrightarrow \left ( 1+\frac{1}{a^2} \right )x+y-\frac{2}{a}-3=0\) \((m)\)

Gọi \(A=(d)\cap Oy\) thì \(A(0,3)\)

Gọi \(B=(m)\cap Oy\Rightarrow B(0,\frac{2}{a}+3)\)

Gọi \(C=(d)\cap (m)\). PT hoành độ giao điểm là:

\(-\left (1+\frac{1}{a^2}\right)x+\frac{2}{a}+3=3-x\Leftrightarrow \frac{2}{a}=\frac{x}{a^2}\Leftrightarrow x=2a\)

\(\Rightarrow C(2a,3-2a)\)

Do đó, \(AB=\left | \frac{2}{a} \right |\); \(BC=\sqrt{8a^2+\frac{4}{a^2}+8}\); \(AC=2\sqrt{2}|a|\)

Chu vi tam giác:

\(AB+BC+AC=\left |\frac{2}{a}\right|+2\sqrt{2}|a|+\sqrt{8a^2+\frac{4}{a^2}+8}=2(2+\sqrt{2})\)

\(\Leftrightarrow \left | \frac{1}{a} \right |+\sqrt{2}|a|+\sqrt{2a^2+\frac{1}{a^2}+2}=2+\sqrt{2}\)

Áp dụng BĐT Cô -si:

\(\left | \frac{1}{a} \right |+\sqrt{2}|a|\geq 2\sqrt{\sqrt{2}}>\sqrt{2}\)

\(a^2+\frac{1}{a^2}\geq 2\Rightarrow 2a^2+\frac{1}{a^2}+2\geq 4+a^2\geq 4\)

\(\Rightarrow \left | \frac{1}{a} \right |+\sqrt{2}|a|+\sqrt{2a^2+\frac{1}{a^2}+2}>2+\sqrt{2}\)

Do đó PT vô nghiệm, tức là không tồn tại $a$ nên không tồn tại PTTT.