Bài 1: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

\(\begin{cases}\sqrt{x-1}-\sqrt{y}=8-x^3\left(1\right)\\\left(x-1\right)^4=y\left(2\right)\end{cases}\)

Đk: \(x\ge1;y\ge0\)

Thay (2) vào (1) ta đc:

\(\sqrt{x-1}-\left(x-1\right)^2=-x^3+8\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}-1=-x^3+x^2-2x+8\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}-1\cdot\frac{\sqrt{x-1}+1}{\sqrt{x-1}+1}=\left(-x^3+2x^2\right)-\left(x^2-2x\right)-\left(4x-8\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}=\frac{x-2}{-x^2-x-4}\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x-2=0\\\sqrt{x-1}+1=-x^2-x-4\left(3\right)\end{array}\right.\) 

(3) vô nghiệm do \(VT>0;VP< 0\) với mọi x

\(\Leftrightarrow x=2\left(tm\left(x\ge1\right)\right)\Rightarrow y=1\)

Vậy hệ pt đã cho có nghiệm x = 2; y = 1 

\(\Rightarrow\frac{20+xy}{4x}=\frac{1}{8}\)

\(\Rightarrow\frac{20+xy}{x}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow2xy-x=-40\)

\(\Rightarrow x\left(2y-1\right)=40\)

=> x ; 2y - 1 thuộc Ư₍₄₀₎

Dễ thấy 2y - 1 lẻ

(+) \(\begin{cases}2y-1=1\\x=-40\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}y=1\\x=-40\end{cases}\)

(+) \(\begin{cases}2y-1=-1\\x=40\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}y=0\\x=40\end{cases}\)

(+) \(\begin{cases}2y-1=5\\x=-8\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}y=3\\x=-8\end{cases}\)

(+) \(\begin{cases}2y-1=-5\\x=8\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}y=-2\\x=8\end{cases}\)

Vậy .............

Rút x theo y( hoặc y theo x) xem x như một hàm fx. Dùng chức năng table trong máy tính. Cho y chạy. Chọn giác trị của y làm x nguyên và giá trị x tương ứng

\(-2< m\le1\)

Hàm số \(y=\dfrac{mx+4}{x+m}\)có TXĐ:

\(y'=\dfrac{m^2-4}{\left(x+m\right)^2}\)

Với \(m=\pm2\)thì hàm số đã cho trở thành hàm hằng.

Vậy hàm số nghịch biến khi\(y'< 0\Leftrightarrow m^2-4< 0\Leftrightarrow-2< m< 2\)

Khi đó hàm số nghịch biến trên các khoảng và

Để hàm số nghịch biến trên khoảng thì

Vậy thỏa yêu cầu bài toán.

Lời giải:

Để hàm $y$ nghịch biến thì

\(y'=\frac{m^2-4}{(m+x)^2}<0\Leftrightarrow m^2-4<0\Leftrightarrow -2< m<2(1)\)

Mặt khác \(x\in(-\infty,1)\) nên để hàm số xác định, tức \(x+m\neq 0\Rightarrow m\neq (-1,+\infty)\), tức là \(m\leq -1(2) \)

Kết hợp \((1),(2)\Rightarrow -2 < m \leq -1\)

D.\(-2<0<= -1\)

\(y'=\left(2m+1\right)\cos x+3-m\)

Hàm số đã cho đồng biến trên R \(\Leftrightarrow y'\ge0,\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow\left(2m+1\right)\cos x\le m-3\) (1)

*TH: \(2m+1< 0\Leftrightarrow m< \frac{-1}{2}\), ta có

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\cos x\ge\frac{m-3}{2m+1}\) (không thoả với mọi x)

*TH: \(2m+1>0\Leftrightarrow m>\frac{-1}{2}\), ta có

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\cos x\le\frac{m-3}{2m+1}\) (2)

(2) đúng với mọi x khi và chỉ khi \(\left|\frac{m-3}{2m+1}\right|>1\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}m< -4\\m>\frac{2}{3}\end{array}\right.\)

kết hợp \(m>\frac{-1}{2}\) ta có m > 3/2 là giá trị cần tìm

ai giúp mình với

\(f'(x) = 4x^{3} -6x^{2}+2=(x-1)^{2}(4x+2)\)

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x=1\) hoặc \(x=\dfrac{-1}{2}\)

Lập bảng xét dấu, trong đó x = 1 là nghiệm bội chẵn nên dấu của f'(x) qua x = 1 không đổi, ta có:

*Khi \(x\geq\dfrac{-1}{2}\) thì \(f'(x)\geq0\)

*Khi \(x<\dfrac{-1}{2}\) thì \(f'(x)<0\)

\(\rightarrow D\)