Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường thẳng?
A. \(2x - y + 1 = 0\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = t\end{array} \right.\)
C. \({x^2} + {y^2} = 1\)
D. \(y = 2x + 3\)
Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường thẳng?
A. \(2x - y + 1 = 0\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = t\end{array} \right.\)
C. \({x^2} + {y^2} = 1\)
D. \(y = 2x + 3\)
Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của đường thẳng?
A. \( - x - 2y + 3 = 0\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 - t\end{array} \right.\)
C. \({y^2} = 2x\)
D. \(\frac{{{x^2}}}{{10}} + \frac{{{y^2}}}{6} = 1\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiChọn A
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?
A. \({x^2} - {y^2} = 1\)
B. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = - 4\)
C. \({x^2} + {y^2} = 2\)
D. \({y^2} = 8x\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiPhương trình \({x^2} + {y^2} = 2\) là một phương trình đường tròn với \(O\left( {0;0} \right)\) là tâm và bán kính \(R = \sqrt 2 \).
Chọn C.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường elip?
A. \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)
B. \(\frac{{{x^2}}}{1} + \frac{{{y^2}}}{6} = 1\)
C. \(\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)
D. \(\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiChọn D.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường hyperbol?
A. \(\frac{{{x^2}}}{3} - \frac{{{y^2}}}{2} = - 1\)
B. \(\frac{{{x^2}}}{1} - \frac{{{y^2}}}{6} = 1\)
C. \(\frac{{{x^2}}}{6} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)
D. \(\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{y^2}}}{1} = - 1\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiChọn B.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường parabol?
A. \({x^2} = 4y\)
B. \({x^2} = - 6y\)
C. \({y^2} = 4x\)
D. \({y^2} = - 4x\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiChọn C.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Trong mặt phẳng toạ độ, cho A(1;-1), B(3; 5), C(-2; 4). Tính diện tích tam giác ABC.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 5; - 1} \right)\), suy ra \(BC = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt {26} \), đồng thời \(\overrightarrow {{n_{BC}}} = \left( {1; - 5} \right)\).
Mặt khác BC đi qua điểm B(3;5) nên phương trình BC là \(x - 5y + 22 = 0\)
Độ dài đường cao AH của tam giác ABC là \(AH = d\left( {A,BC} \right) = \frac{{\left| {1 - 5\left( { - 1} \right) + 22} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }} = \frac{{28}}{{\sqrt {26} }}\)
Diện tích của tam giác ABC là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}.\frac{{28}}{{\sqrt {26} }}.\sqrt {26} = 14\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai điểm A(-1; 0) và B(3; 1).
a) Viết phương trình đường tròn tâm A và đi qua B.
b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB.
c) Viết phương trình đường tròn tâm O và tiếp xúc với đường thẳng AB.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Phương trình đường tròn tâm A bán kính AB là \({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 17\)
b) Ta có \(\overrightarrow {{u_{AB}}} = \overrightarrow {AB} = \left( {4;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AB}}} = \left( {1; - 4} \right)\).
Phương trình AB là \(1\left( {x + 1} \right) - 4y = 0 \Leftrightarrow x - 4y + 1 = 0\).
c) Bán kính của đường tròn tâm O, tiếp xúc với đường thẳng AB là
\(R = d\left( {O,AB} \right) = \frac{{\left| {0 - 4.0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {17} }}\)
Phương trình đường tròn tâm O tiếp xúc AB là \({x^2} + {y^2} = \frac{1}{{17}}\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Cho đường tròn (C) có phương trình \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 12 = 0\) .
a) Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của (C).
b) Chứng minh rằng điểm M(5; 1) thuộc (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Ta có \(I\left( {2; - 3} \right)\) và \(R = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} - \left( { - 12} \right)} = 5\)
b) Ta có: \({5^2} + {1^2} - 4.5 + 6.1 - 12 = 0\). Suy ra M thuộc \(\left( C \right)\). Tiếp tuyến d của (C) tại M có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_d}} = \overrightarrow {IM} = \left( {3;4} \right)\), đồng thời d đi qua điểm \(M\left( {5;1} \right)\).
Vậy phương trình của d là \(3\left( {x - 5} \right) + 4\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 19 = 0\).
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\)
a) Tìm các giao điểm \({A_1},{A_2}\) của (E) với trục hoành và các giao điểm \({B_1},{B_2}\) của (E) với trục tung. Tính \({A_1}{A_2},{B_1}{B_2}\).
b) Xét một điểm bất kì \(M\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) thuộc (E).
Chứng minh rằng, \({b^2} \le x_o^2 + y_o^2 \le {a^2}\) và \(b \le OM \le a\).
Chú ý: \({A_1}{A_2},{B_1}{B_2}\)tương ứng được gọi là trục lớn, trục nhỏ của elip (E) và tương ứng có độ dài là 2a, 2b.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Các giao điểm của (E) với trục hoành có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \pm a\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{A_1}\left( { - a;0} \right)\\{A_2}\left( {a;0} \right)\end{array} \right.\)
Các giao điểm của (E) với trục tung có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\\x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = \pm b\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{B_1}\left( {0; - b} \right)\\{B_2}\left( {0;b} \right)\end{array} \right.\)
Ta có \({A_1}{A_2} = 2a,{B_1}{B_2} = 2b\).
b) Do M thuộc (E) nên ta có \(\frac{{x_o^2}}{{{a^2}}} + \frac{{y_o^2}}{{{b^2}}} = 1\)
Do \(a > b > 0\) nên ta có \(\frac{{x_o^2}}{{{a^2}}} \le \frac{{x_o^2}}{{{b^2}}}\). Suy ra \(1 \le \frac{{x_o^2}}{{{b^2}}} + \frac{{y_o^2}}{{{b^2}}} \Rightarrow {b^2} \le x_o^2 + y_o^2\)
Tương tự ta có \(\frac{{y_o^2}}{{{a^2}}} \le \frac{{y_o^2}}{{{b^2}}}\) nên \(1 \ge \frac{{y_o^2}}{{{a^2}}} \le \frac{{y_o^2}}{{{b^2}}} \Rightarrow {a^2} \ge x_o^2 + y_o^2\)
Vậy \({b^2} \le x_o^2 + y_o^2 \le {a^2}\)
Ta có \(OM = \sqrt {x_o^2 + y_o^2} \) suy ra \(b \le OM \le a\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)